2. Свойства среднего квадратичекого отклонения (дисперсии).
СКО от средней арифметической меньше СКО от любой величины
.
Это свойство минимальности СКО.
Если все варианты увеличить или уменьшить на одно и тоже число а, то СКО (дисперсия) не изменится.
,
.
.
Если все варианты увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз b, то СКО увеличится или уменьшится в b раз, а дисперсия в
раз.
,
.
.
Если все веса СКО увеличить или уменьшить в k раз, то СКО (дисперсия) не изменится
Если
–
сумма всех частей, то можно определить
СКО с помощью относительных величин
структуры:
,
если
,
.
3. Методы вычисления дисперсии (ско).
1. Метод вычисления СКО по преобразованной формуле.
– средний квадрат значения признака
или среднее арифметическое из квадратов.
-
Группы работников по статусу работы, лет
Число работников
хi
ximi
До 4
2
2
4
4
8
4 -8
5
6
30
36
36*5 = 180
8 – 12
12
10
120
100
100*12 = 1200
12 – 16
10
14
140
196
1960
16 – 20
10
18
180
324
3240
20 и более
1
22
22
484
484
ИТОГО
40
Х
496
Х
7072
.
2. Вычисление дисперсии и СКО методом моментов.
Метод моментов основан на 2-м и 3-м свойствах СКО и упрощает вычисление СКО.
,
,
В качестве а используют:
при нечётном числе групп – середину средней группы;
при чётном – любое из середин 2-х средних групп.
b– величина интервала.
-
Группы работников по статусу работы, лет
Число работников
хi
yimi
До 4
2
2
- 2
- 4
8
4 -8
5
6
-1
- 5
5
8 – 12
12
10
0
0
0
12 – 16
10
14
1
10
10
16 – 20
10
18
2
20
40
20 и более
1
22
3
3
9
ИТОГО
40
Х
Х
24
72
.
3. Вычисление СКО альтернативного признака.
Альтернативный признак – признак, значением которого единицы изучаемой совокупности могут обладать или не обладать.
Например, наличие
и не наличие бракованной продукции.
Наличие признака обозначают 1, а его
отсутствие – 0. Следовательно,
альтернативный признак может принимать
одно из 2-х значений 1или 0. Вариация
альтернативного признака количественно
проявляется в значении нуля у единиц,
которые этим признаком не обладают, или
единицы у тех, которые данный признак
имеют. Долю единиц совокупности обладающих
значением признака равным 1 обозначают
;
долю единиц, не обладающих данным
признаком – q.
Причём
.
-
1
0
p
q
Среднее значение альтернативного признака равно:
.
Т.е. средней величиной альтернативного признака является доля единиц этого признака.
Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:
.
.
Максимальное
значение дисперсия альтернативного
признака принимает при
;
;
.
Показатели вариации альтернативных признаков широко используются в статистике, в частности при проектировании выборочного наблюдения, обработке данных социологических обследований, статистическом контроле качества продукции и т.д.
Пример: Определим дисперсию и СКО доли организаций, имеющих финансовые нарушения, если проверено 86 организаций и в 37 обнаружены нарушения.
n = 86, m = 37.
,
q=
1-0,43 = 0,57.
Следовательно, дисперсия и СКО доли организаций, имеющих финансовые нарушения равны:
;
.