Лабораторная работа № 4 построение ЭмпирическиХ формул

Цель работы: изучение аппарата среднеквадратичной аппроксимации функций.

Содержание работы

1. Изучение метода наименьших квадратов.

2. Определение параметров эмпирических формул.

3. Вычисление среднеквадратичного отклонения.

Основные понятия

При обработке экспериментальных данных часто возникает задача построения эмпирических формул.

Постановка задачи

В результате наблюдений (измерений) получен ряд значений переменных

			…
			…

Необходимо аналитически выразить функциональную зависимость между и .

Замечание.

Так как: 1) экспериментальные данные являются приближенными и могут содержать ошибки;

2) основное требование, предъявляемое к эмпирическим

формулам ― простота,

то интерполяция не приводит к идеальному решению поставленной задачи.

Этапы построения эмпирических формул

Этап 1. Выбор общего вида эмпирической формулы

На основании точечного графика, построенного по экспериментальным данным, выдвигается гипотеза относительно вида аппроксимирующей функции.

Наиболее часто используются следующие функции:

1) ― линейная;

2) ― гипербола;

3) ― степенная;

4) ― показательная;

5) ― логарифмическая;

6) ― дробно-линейная;

7) ― дробно-рациональная;

8) ― параболическая.

Этап 2. Определение параметров эмпирической формулы

Существуют различные методы определения параметров эмпирических формул. Наиболее распространённым на практике является метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов

На рис. 4.1 представлена геометрическая интерпретация задачи аппроксимации.

Обозначения, используемые для дальнейших рассуждений:

 эмпирическая формула,

где F( x ) – аппроксимирующая функция;

, ( ),

где – отклонения измеренных значений от вычисленных;

или ,

где S – мера отклонения.

Критерий аппроксимации: для построения аппроксимирующей функции необходимо подобрать коэффициенты так, чтобы величина была наименьшей.

Общее решение задачи на примере аппроксимирующей функции с тремя параметрами.

Если , то .

Требуется найти минимум данной функции.

Используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных:

; ; .

Задача минимизации сводится к решению системы уравнений:

Решив систему, определяют параметры аппроксимирующей функции .

Рассмотрим частные случаи.

Линейная зависимость

Будем искать аппроксимирующую функцию в виде: . Частные производные по параметрам:

; .

Система уравнений:

После преобразований

Вспомогательная таблица (табл. 4.1)

Таблица 4.1

…	…	…	…
__	__	__	__