4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
Рішення
плоскої задачі в полярних координатах
у напруженнях полягає у відшуканні
трьох функцій
і
,
за
допомогою
трьох рівнянь: двох рівнянь рівноваги
(4.1) і рівняння нерозривності деформацій
(4.3) при обов'язковому задоволенні умов
на поверхні.
Аналогічно
тому, як було зроблено при рішенні
плоскої задачі в декартових координатах,
рішення в полярних координатах можна
звести до відшукання однієї функції
напружень
.
Виберемо цю функцію так, щоб напруження
виражалися через неї в такий спосіб:
|
(4.24) |
Підставляючи ці вирази в рівняння рівноваги (4.1), переконуємося, що при відсутності об'ємних сил останні обертаються в тотожності. Щоб перетворити рівняння нерозривності деформацій (4.3), складемо почленно формули для нормальних напружень (4.24)
.
Права частина цієї суми представлена оператором Лапласа над функцією . Отже,
і з рівняння (4.3) одержуємо
,
або
|
(4.25) |
.У розгорнутому виді рівняння нерозривності деформацій (4.25) записується в такий спосіб:
|
(4.26) |
.Таким чином, функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах також повинна бути бігармонічною.
4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
Зупинимося на плоских задачах, у яких напруження, а, отже, і функція не залежать від полярного кута . У цьому випадку бігармонічне рівняння (4.26) приймає більш простий вид:
,
або після диференціювання
|
(4.27) |
.Також спрощуються вираз напружень (4.24):
|
(4.28) |
;
;
.При відсутності об'ємних сил залишиться тільки одне з рівнянь рівноваги (4.1)
|
(4.29) |
.Спростяться й геометричні співвідношення Коші (4.4), тому що складова переміщення v в силу симетрії дорівнює нулю:
|
(4.30) |
;
;
. З формул закону Гука (4.5) залишаться лише дві:
|
(а) |
Осесимметричну задачу в переміщеннях можна вирішити в загальному виді. З формул закону Гука (а) знаходимо
|
(б) |
За допомогою співвідношень (4.30) виключаємо із цих рівнянь складові деформації:
Підставляючи ці напруження в рівняння рівноваги (4.29), одержуємо диференціальне рівняння відносно складового переміщення :
|
(4.31) |
.Воно має змінні коефіцієнти. Для рішення приведемо його до рівняння з постійними коефіцієнтами за допомогою наступної підстановки:
|
(4.32) |
або
|
(в) |
.Диференціюючи вираз (4.32) по змінній , одержуємо
|
(г) |
Встановимо зв'язок між похідними функції по старій і новій змінним:
З урахуванням рівності (г) одержуємо
|
(д) |
Друга похідна
|
(е) |
Підставляючи похідні (д) і (е) в рівняння (4.31), знаходимо
.
Рішення цього рівняння має вигляд
.
Вертаючись до старої змінної , відповідно до залежностей (4.32) і (в) одержуємо
|
(4.33) |
.Знаючи складову переміщення , знаходимо з рівнянь (4.30) складової деформації:
|
(4.34) |
а з формул (б) - складових напружень:
|
(4.35) |
Постійні
й
визначаються із граничних умов.