- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
Для розв’язання задачі про вигин круглої пластинки всі рівняння вигину пластинки, виведені в декартовій системі координат, перетворимо до полярної системи. У цьому випадку прогин пластинки й навантаження є функціями змінних r і , тобто й . Тоді відповідно до залежностей (4.3) основне рівняння вигину пластинки (5.15) приймає вигляд
|
(5.22) |
Згинальні моменти в круглій пластинці будемо позначати так: — згинальний момент у перетині, перпендикулярному радіус-вектору r у розглянутій точці (радіальний згинальний момент); — те ж у перетині, що збігається з радіус-вектором (тангенціальний згинальний момент).
Заміняючи у формулах (5.8) похідні функції прогинів по x і y на похідні по r і , одержуємо формули згинальних моментів у полярній системі координат:
|
(5.23) |
Аналогічно перетворимо формулу крутного моменту (5.10):
|
(5.24) |
Поперечні сили позначимо в такий спосіб: — поперечна сила на площадці з нормаллю r (радіальна поперечна сила); — те ж, на площадці, що збігається з радіус-вектором r (тангенціальна поперечна сила). Заміняючи у формулах (5.19) похідні одержуємо вирази поперечних сил у полярній системі координат:
|
(а) |
або
|
(5.25) |
Позначимо інтенсивність наведеної поперечної сили на гранях контуру, перпендикулярних радіус-вектору r, a — на гранях, що збігаються з радіус-вектором. Тоді з формул (5.17) і (5.18) після заміни змінних x і y на r і можна одержати вирази наведеної поперечної сили на контурі, що враховує наявність крутного моменту:
Підставляючи сюди значення поперечних сил (а) і крутного моменту (5.24), знаходимо
|
(5.26) |
Формули (5.22)-(5.26) являють собою основні рівняння вигину пластинок у полярній системі координат. Рівняння (5.22) служить для визначення функції прогинів серединної площини пластинки, а інші - для складання граничних умов і визначення зусиль.
5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
Задача про вигин круглої пластинки буде осесиметричною, якщо навантаження на пластинку, а також умови закріплення її країв не залежать від полярного кута . У цьому випадку прогини пластинки також не залежать від полярного кута , а є функцією лише координати r, тобто . Тоді рівняння (5.22) значно спрощується:
|
(5.27) |
Формули згинальних моментів (5.23) приймають вигляд
|
(5.28) |
а крутний момент (5.24) звертається в нуль.
Спрощуються й вирази поперечних сил (5.25)
|
(5.29) |
а наведені поперечні сили на контурі (5.26) становлять
Рівняння (5.27) можна вирішити в загальному виді. Як відомо, загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння складається із суми загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного рівняння , тобто
|
(а) |
Загальний розв’язок однорідного рівняння
записується так:
Щоб одержати частинний розв’язок , рівняння (5.27) можна скласти у вигляді
Переконатися в правильності цього рівняння можна, виконавши диференціювання в його лівій частині. Диференціюючи функцію, що розташовується в круглій дужці, знаходимо
або
Диференціюючи функцію, що розташовується в прямих дужках, одержимо
або
Нарешті, диференціюючи функцію, що розташовується у фігурних дужках, знаходимо
або
що збігається з рівнянням (5.27).
Інтегруючи це рівняння послідовно чотири рази, знайдемо загальний вигляд частинного розв’язку:
|
(б) |
Нехай навантаження рівномірно розподілене по всій поверхні пластинки, тобто . У цьому випадку вираз (б) легко інтегрується й приводить до наступного результату:
Отже, загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (5.27) при рівномірно розподіленому навантаженні такий:
|
(5.30) |
Розглянемо деякі приклади розрахунку пластинок, що перебувають під дією рівномірно розподіленого навантаження.
1. Суцільна шарнірно обперта по контурі пластинка (рис. 5.16).
Рис. 5.16. Шарнірно обперта по контурі пластинка
Для визначення постійні інтегрування маємо наступні граничні умови. У центрі пластинки (при ) прогин повинен мати кінцеве значення. Тому що , то в розв’язку (5.30) варто відкинути члени, що містять множник , тобто прийняти
Тоді
|
(в) |
Дві умови маємо на контурі пластинки, де повинні звертатися в нуль прогин і радіальний згинальний момент . Таким чином, при
і |
(г) |
Підставляючи в умови (г) функцію прогинів (в), одержуємо:
звідки
Підставляючи знайдені постійні в розв’язок (в), одержуємо функцію прогинів для розглянутої пластинки:
|
(5.31) |
Максимальний прогин виникає в центрі пластинки (при ):
|
(д) |
Підставляючи функцію прогинів (5.31) у формули (5.28), знаходимо згинальні моменти в пластинці:
|
(5.32) |
Максимальні згинальні моменти також виникають у центрі пластинки:
Згинальні моменти в точках контуру (при ):
Епюри згинальних моментів для пластинки, виготовленої з матеріалу з коефіцієнтом Пуассона , показані на рис. 5.16.
2. Суцільна затиснена по контурі пластинка (рис. 5.17).
Рис.5.17. Затиснена по контурі пластинка
Для визначення сталих і маємо наступні граничні умови: на зовнішньому контурі пластинки повинні біти відсутніми прогини й повороти перерізів, тобто
при
Підставляючи в ці умови функцію прогинів (в), одержуємо:
звідки
і рівняння серединної поверхні (в) приймає вигляд
|
(5.33) |
Максимальний прогин у центрі пластинки (при )
З порівняння цього результату з формулою (д) випливає, що максимальний прогин затисненої по контурі пластинки в чотири рази менший максимального прогину шарнірно обпертої пластинки.
Підставляючи функцію прогинів (5.33) у формули (5.28), знаходимо згинальні моменти:
|
(5.34) |
Згинальні моменти в центрі пластинки:
на контурі:
Епюри згинальних моментів для пластинки, виготовленої з матеріалу з коефіцієнтом Пуассона , показані на рис. 5.17. Максимальний за абсолютним значенням згинальний момент виникає в точках контуру на площадках, перпендикулярних радіусу. Він на 40% менший максимального згинального моменту в шарнірно обпертій пластинці.
3. Кільцева пластинка із затисненим зовнішнім краєм (рис. 5.18).
Рис. 5.18. Кільцева пластинка із затисненим зовнішнім краєм
Для визначення постійних інтегрування, що входять у розв’язок (5.30), маємо наступні граничні умови: на зовнішньому, затисненому краї (при )
на внутрішньому, вільному краї (при )
і
Підставляючи в ці умови функцію прогинів, (5.30), одержимо систему рівнянь:
Розв’язавши цю систему, знаходимо
|
(е) |
де
Якщо ввести позначення
то рівняння серединної поверхні пластинки (5.30) після підстановки в нього сталих (е) прийме наступний вигляд:
|
(5.35) |
Подальший хід розрахунку, тобто визначення зусиль і напруг не представляє складнощів і проводиться аналогічно попереднім прикладам.