20.Установившаяся прямолинейно-параллельная фильтрация однородной несжимаемой жидкости в однородном пласте по линейному закону Дарси (приток к галерее).

Рис.1 вертик. и гориз. сечения прямолинейно-параллельного фильтр-го потока.

П усть в горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины B в сечении I-I ,совпадающем с контуром питания поддерживается пост. давление Р_к , а в сечении II-II, отстоящем на расстоянии L_k от контура питания поддерживается постоянное давление Р_г (здесь расположена добывающая галерея). Направим ось координат ОХ вдоль линии тока, ось ОУ вдоль контура питания. Для полного исследования такого потока достаточно изучить движение жидкости вдоль оси ОХ, ДУ Лапласа при этом примет вид:

(1)

Для определения давления в любой точке потока проинтегрируем дважды ур-е (1) при след-х граничных условиях.

Р=Р_к при х=0; Р=Р_г при х=L_k; (2)

Тогда в рез-те двукратного интегр-я Ур-я (1) получим последовательно

или

(3)

с_{1 ,} с₂ -произв. пост.

Подставляя в уравнение (3) граничные условия ур-я (2), получаем

с₂=Р_к;

(4)

З-н распределения давления в пласте найдем подставив зн-я постоянных с₁ и с₂ из (4) и (3) в ур-я (5)

Из (5) получаем выр-е для градиента давления

(6)

Уравнение движения для рассматриваемого случая как следует из (4), будет иметь вид

(7)

Тогда, подставив выр-е (6) для градиента давления в (7), найдем скорость ф-ии

(8)

Объемный расход жидкости в потоке определяется произведением скорости ф-ии на скорость поперечного сечения потока т.е

. , (9)

З-н движения частиц жидкости найдем, используя соотношение м/у скоростью ф-ии и ср. скоростью дв-я ч-ц ж-ти

V-скорость дв-я ч-ц ж-ти, m-пористость.

(10)

Подставив выражение (8) для скорости ф-ии в (10) ур-е и интегрируя в пределах от 0 до t и от 0 до х , получим з-н движения ж-х частиц (11), который, используя (9) можно представить в виде (12) ; Т= (mBhLk)/Q, - полное время разработки залежи

Средневзвешенное по объему порового пр-ва пластовое давление найдем из выражения

, (13)

В нашем случае

, (*)

, (14)

тогда найдем

,

Т.о. характеристики установившегося прямолинейного потока несжимаемой жидкости в однородном пласте определяется соотношениями уравнений (5), (6), (8), (9), (11), (15).

Анализ этих формул приводит к след. выводам :

1. Для установившегося прямолинейного потока несжимаемой жидкости в однородном пласте

а) з-н распределения давления носит линейный характер;

б) grad P = const

в) V не равна V(х) = const

г) Q не равен Q(х) = const

2. Гидродинамическое поле такого фильтрационного потока можно представить двумя семействами взаимоперпендикулярных прямых линий (изобар- линий, равных Р и линий тока), для установившейся фильтрции они совпадают с траекторией движения частиц жидкости.

Пластовое давление из ур-я (5) распространяется вдоль линии тока (оси ОХ) по линейному закону:

рис.2 Изменение характеристик прямолинейного параллельного фильтрационного потока вдоль линии тока.

В любой плоскости YOZ давление одинаково во всех точках, для которых постоянна абсцисса х, т.е. уравнение x=const(16) представляет собой уравнение семейства изобар(линии равного давления), семейства горизонтальных прямых, перпендикулярных к линии тока ОХ. Поверхностями равного давления в таком потоке будут являться вертикальные плоскости, перпендикулярные к линиям тока ОХ. Изобары и линии тока образуют 2 семейства взаимно-перпендикулярных линий.В установившемся прямолинейно-параллельном потоке семейство изобар будут равноотстоящие друг от друга прямые, перпенд. к оси ОХ, а семейство траекторий будут представлено прямыми, равноотстоящими друг от друга и паралл. оси ОХ.

Рис.3 Гидродинамическое поле прямолинейно-параллельного фильтрационного потока .

Совокупность изображенных на чертеже изобар и траекторий гидродинамическое поле данного потока. Градиент давления, скорость ф-ии и расход ж-ти постоянны вдоль потока( не зависят от х).

21. Плоскорадиальная установившаяся фильтрация однородной несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте к совершенной скважине.

Рассмотрим установившийся приток к совершенной скважине, расположенной в центре однородного кругового пласта(m, k, h=const).

ДУ Лапласа в скалярных координатах

обозначим

через у,

.

Тогда ДУ Лапласа следует переписать в виде .,

,

разделяя переменные получим

,

решением этого ДУ является

,

потенцируя, получим в результате з-н распределения давления в круговом пласте P(r)=c₁·ln r+c₂.

Следут опр-ть: P=P(r), gradP=f(r), V=V(r), Q, t=t(r).

Граничные условия: Р=Р_С при r=R_k. Для нахождения постоянных интегрирования подставим граничные условия в общее решение:

Полученное с₁ можно подставить в выражение Р_С и Р_к:

Для нахождения з-на распределения давления в круговом пласте подставим с₁ и с₂ в

логарифмическую функцию.

(давление в круговом пласте снижается при движении от R_K до r_c по логарифмическому закону).

-давление в пласте растет от r_c до R_K по логарифмическому закону.

Физ. смысл данных выражений: чем дальше от скважины, тем меньше градиент давления и соотв-но меньше скорость и наоборот. При этом возможно нарушение линейного закона Дарси в ПЗП (из-за больших скоростей , т.е. проявление сил инерции), и в зонах пласта(из-за проявления неньютоновских св-в при малых скоростях фильтрации.)

найдем формулу для определения дебита:Q=VF, ,F- площадь фильтрации.

;

тогда

-ф-ла Дюпюи.