2.1. Линеаризация вход-состояние

Рассмотрим задачу регулирования применительно к объекту с одним входным сигналом u, описываемому нелинейным уравнением

.

Технология линеаризации вход-выход решает эту задачу в два шага:

- Найти преобразование состояния и преобразование входного сигнала такие, что динамика нелинейного объекта трансформируется в динамику эквивалентного линейного объекта, описываемого уравнением .

- Использовать стандартные методы линейной теории управления, чтобы спроектировать управление u_э.

Пример. Рассмотрим нелинейный объект второго порядка

(6)

Даже хотя спроектированный линейный регулятор может стабилизировать объект в малой окрестности точки равновесия (0,0), но совершенно не очевидно, что этот регулятор может стабилизировать его в целом. Специфическая трудность заключена в нелинейности, входящей в первое уравнение состояния (6), т.к. она не может быть сокращена с помощью управляющего сигнала u.

Рассмотрим следующее преобразование состояния

(7)

которое преобразует (6) в

(8)

Заметим, что новые уравнения состояния также имеют состояние равновесия в точке (0,0). Теперь нелинейности могут быть сокращены с помощью закона управления в виде

(9)

где u_э эквивалентное управление (эквивалентное в том смысле, что определение u_э равносильно определению u и наоборот). Этот закон приводит к линейным уравнениям состояния

(10)

Итак, проблема стабилизации исходного нелинейного объекта, описываемого уравнениями (6) и использующего исходный управляющий сигнал u, с помощью преобразования состояния (7) и преобразования управления (9) сводится к проблеме стабилизации преобразованного объекта, используя новый управляющий сигнал u_э. Теперь рассмотрим преобразованный объект, описываемый уравнениями (10). Нетрудно показать, что он является не только линейным, но и полностью управляемым. Используя хорошо известный линейный закон управления с обратной связью по состоянию , и выбирая коэффициенты =2, =0, так что

, (11)

получаем устойчивый преобразованный объект, описываемый уравнениями и . В рамках исходного вектора состояния найденный закон управления соответствует исходному управлению

. (12)

Исходное состояние x связано с z посредством соотношений

(13)

Структурная схема замкнутой системы с полученным выше законом управления представлена на рис. 1.

Рис. 1

Замечание. Чтобы обобщить приведенный выше метод нужно ответить на два вопроса:

- Какие классы нелинейных систем могут быть преобразованы в линейные системы?

- Каким путем можно найти соответствующие преобразования для тех систем, которые в принципе могут быть преобразованы в линейные

системы?

2.2. Линеаризация вход-выход

Рассмотрим задачу слежения применительно к объекту управления, описываемому уравнениями

(14)

Цель управления: добиться, чтобы выход объекта y(t) отслеживал желаемое задающее воздействие y_ж(t), в то время как все переменные состояния оставались ограниченными по величине.

Рассмотрим объект третьего порядка, описываемый уравнениями

(15)

Для того, чтобы получить соотношение, непосредственно связывающее выход y(t) и управление u(t), сначала найдем производную от выхода

.

Как видим, производная явно не связана с управлением u(t). Поэтому еще раз осуществим дифференцирование. Тогда получаем

(16)

где

(17)

Ясно, что (16) дает явную зависимость между y(t) и u(t). Если мы выберем управление в виде

(18)

где определяется как новое управление, то нелинейности в (16) сокращаются, и мы получаем линейное динамическое уравнение

описывающее двойной интегратор. Проектирование следящего регулятора для такого двойного интегратора не представляет трудностей, если использовать методы линейной теории управления. Например, пусть e(t)=y_ж(t)- y(t) и мы выбрали новое управление как

(19)

где и положительные постоянные. При этом ошибка слежения замкнутой системы управления будет описываться уравнением

(20)

которому соответствует применительно к e асимптотически устойчивая динамика, так что ошибка слежения с течением времени затухает до нуля.

Если желаемое задающее воздействие y_ж(t) представлено постоянным сигналом v(t)= v₀ =const, то закон управления приводит к следующему уравнению замкнутой системы относительно выхода которое обеспечивает при положительных постоянных коэффициентов и нулевую установившуюся ошибку воспроизведения постоянного задающего воздействия.

Метод линеаризации с обратной связью требует точной модели ОУ с точными производными управляемой величины y=x, что может повлечь за собой проблему робастности. К этому случаю имеется подход к решению задачи робастности, который заключается во введении в закон управления с обратной связью по состоянию интеграла от ошибки

..

Отсюда получаем

или после дифференцирования

.

Характеристическое уравнение этой системы определяется выражением

Выбирая коэффициенты данного уравнения так, чтобы все его корни были левыми, мы можем добиться стабилизации системы на уровне =const и в то же время робастности к постоянному возмущению на входе нелинейного ОУ и к неопределенности параметров модели.

Заметим, что:

- Закон управления (18) определен всюду, кроме особой точки =-1.

- Для реализации закона управления требуется измерение всех переменных состояния.

- Данный выше регулятор не гарантирует устойчивости внутренней динамики замкнутой системы, т.е. не гарантирует, что замкнутая система внутренне устойчивая.