2.2. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием нормальной генеральной совокупности при известной дисперсии

Пусть (x₁, x₂,…, x_n) – выборка объёма n извлечена из некоторой генеральной совокупности, распределённой по нормальному закону с известным математическим ожиданием a и дисперсией . Необходимо сравнить выборочную среднюю с генеральной средней.

Нулевая гипотеза H₀: E(X) = a.

Построим критерий проверки этой гипотезы. Рассмотрим величину .

Её математическое ожидание E ( ) = a, дисперсия D( ) = ,

следовательно ( )= .

Введем статистику

. (2.1)

Утверждение: Если гипотеза H₀ верна, то случайная величина Z имеет стандартное нормальное распределение.

Пример 2.1. Рост абитуриентов среди поступающих юношей-подростков в Финансовую Академию при Правительстве РФ распределён по нормальному закону с математическим ожиданием a = 181 см и среднеквадратическим отклонением  = 3 см. Для выдачи медицинских справок об основных физиологических показателях были случайно отобраны 8 абитуриентов, полученные данные о их росте приведены в следующей таблице:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X (Рост, см)	185,5	180,3	182,7	177,7	178,8	181,9	174,2	180,7	180,7

Проверим гипотезу о равенстве средней по выборке и математического ожидания по этому показателю у обследованных абитуриентов. Положим уровень значимости = 0,1;

Решение. Введем переменную U = X – 180. Составим вспомогательную таблицу:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9
U	5,5	0,3	2,7	-2,3	-1,2	1,9	-5,8	0,7	0,7	2,5

Вычислим среднее значение по выборке . Получим = 2,5 , следовательно = 182,5 см. Применяя формулу (2.1), вычислим

Z_набл = = 1,5

Из уравнения =0,5 – 0,05 = 0,45 находим по таблице функции Лапласа (приложение 2) правое критическое значение z₂ = 1,65. Поскольку , то нулевая гипотеза H₀ принимается.

2.3. Сравнение генеральных средних по выборкам одинакового объема при равных известных дисперсиях.

Пусть (x₁, x₂,…, x_n) и (y₁, y₂,…, y_n) – выборки одного и того же объёма n из нормальных распределений и соответственно, причем значение известно.

Далее будем считать, что случайные величины X и Y независимы. В этих предположениях проверим нулевую гипотезу H₀: = . Построим критерий проверки Z этой гипотезы. Рассмотрим величину Z:

. (2.2)

Если гипотеза верна, вновь полученная случайная величина Z имеет стандартное нормальное распределение N(0,1).

Пример 2.2. Количество продаж молока по неделям (в тыс. литров), реализуемого в супермаркетах "Просто продукты" (ПП) и «Крестовский» (К), заданы в следующих таблицах:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
ПП	15,5	10,3	12,7	7,7	8,8	11,9	4,2	4,2	10,7

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
К	10,8	11,1	13,6	12,5	13.7	13.7	12,4	13.7	8,5

Проверим гипотезу H₀ о равенстве математических ожиданий при альтернативной гипотезе, что они не равны. Предполагается, что для этих супермаркетов стандартные отклонения продаж молока известны и равны = 2. Зададим уровень значимости = 0,1.

Решение. Применив смещение обеих случайных величин на х⁰ = 10, т.е. введя переменные U=X-10, V=Y-10, составим служебные таблицы для новых переменных:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9
U	5,5	0,3	2,7	-2,3	-1,2	1,9	-5,8	-5,8	0,7	-4

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9
V	0,8	1,1	3,6	2,5	3.7	3.7	2,4	3.7	-1,5	20,0

Последовательно получим:

,

= 2,222 12,222.

Вычислим статистику Z, применив формулу (2.2):

,

.

Из уравнения Ф(z₂) = 0,5 - = 0,5 - 0,05 = 0,45 по таблице значений функции Лапласа (таблица приложения 2) находим левое критическое значение z₁ = -1,65. Поскольку , то гипотеза H₀ отвергается. Таким образом отличие средних продаж молока в этих супермаркетах значимо.