6. Формула Бернулли

Предположим, что проводится опыт с двумя исходами («успех», «неудача») n раз. Испытания идут независимо друг от друга.

Р(1) = р, Р(2) = q, р+q = 1.

Требуется определить вероятность того, что «успех» появится k-раз, при n-испытаниях Рn(ξ = k). ξ – число успехов.

1. пусть n=2

 = {(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}.

    вес точек

р² рq qp q²

р² + рq + qp + q² = (p + q)² = 1²= 1.

Р2(ξ=0) = q², Р2(ξ=1) = 2рq, Р2(ξ=2) = р².

2. пусть n=3

 = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)}.

       

р³ р²q p²q p²q pq² pq² pq² q³

р³ + 3р²q + 3pq²+ q³ = (p + q) ³ = 1³ = 1.

Р3(ξ=0) = q³, Р3(ξ=1) = 3рq², Р3(ξ=2) = 3р²q, Р3(ξ=3) = р³.

k k (n-k)

Рn(ξ = k) = Cn. p q

Формула Бернулли

n

Замечания: 1) Вероятность Рn(ξ=n) = p .

n

2) Вероятность Рn(ξ=0) = q .

k2 i i (n-i)

3) Вероятность Рn(k1  ξ  k2) = Cn. p q .

i=k1

4)Пусть А – появление успеха, хотя бы один раз при n – испытаниях. Тогда

n

Р(А) = 1 – q

Пример: n=6, k=3.

p = q = ½.

3 3 3 6 5 4 6

Р6(ξ=3) = C6 (½) (½) = (½) = 5/16.

1 2 3

3 6 4 6 5 6 6

Р(А) = C6 (½) + C6 (½) + C6 (½) + (½) = 0,3125 + 0,234375 + 0,09375 + 0,015625 = 0,65625.

§ 3.5. Математический аппарат регрессионного и корреляционного анализа

Любой закон природы или общественного развития может быть выражен в конечном счете в виде описания характера или струк­туры взаимосвязей (зависимостей), существующих между изу­чаемыми -явлениями или показателями (переменными величи­нами или просто переменными). Если эти зависимости: а) стохастичны по своей природе, т. е. позволяют устанавливать лишь вероятностные логические соотношения между изучае­мыми событиями А и В, а именно соотношения типа «из факта осуществления события А следует, что событие В должно произойти, но не обязательно, а лишь с некоторой (как пра­вило, близкой к единице) вероятностью Р»; б) выявляются на основании статистического наблюдения за анализируемыми событиями или переменными, осуществляемого по выборке из интересующей нас генеральной совокупности, то мы оказываемся в рамках проблемы статистического ис­следования зависимостей. Соответствующий математический аппарат, будучи, таким образом, нацеленным в первую очередь на решение основной проблемы естествознания: как по отдель­ным, частным наблюдениям выявить и описать интересующую нас общую закономерность? — занимает, бесспорно, централь­ное место во всем прикладном математическом анализе.

Перед тем как перейти к формулировке общей и частных задач статистического исследования зависимостей, условим­ся описывать функционирование изучаемого реального объек­та (системы, процесса, явления) набором переменных (рис. 3.11), среди которых:

х'⁽¹⁾, х⁽²⁾, ..., х^(р) — так называемые «входные» переменные, описывающие условия функционирования (часть из них, как правило, поддается регулированию или частичному управле­нию); в соответствующих математических моделях их назы­вают независимыми, факторами-аргументами, экзогенными, предикторными (или просто предикторами, т. е. предсказателя­ми), объясняющими;

y⁽¹⁾, y⁽²⁾, ..., y^(m) — выходные переменные, характеризующие поведение или результат, (эффективность) функционирования, в математических моделях их называют зависи­мыми, откликами, эндогенными, результирующими или объяс­няемыми;

ε⁽¹⁾, ε⁽²⁾, ..., ε^(m) — латентные (т. е. скрытые, не под­дающиеся непосредственному измерению) случайные достаточ­ные» компоненты, отражающие влияние (соответственно на y⁽¹⁾, y⁽²⁾, ..., y^(m) неучтенных «на входе» факторов, а также случайные ошибки в измерении анализируемых показателей (в математических .моделях их, как правило, именуют просто «остатками»).

х'⁽¹⁾, х⁽²⁾, ..., х^(р) — «входные» переменные, описывающие условия функционирования

Анализируемая реальная система

y⁽¹⁾, y⁽²⁾, ..., y^(m) — выходные зависимые переменные характеризующие результат

(эффективность) функционирования.

ε⁽¹⁾, ε⁽²⁾, ..., ε^(m) — латентные (т. е. скрытые, не под­дающиеся непосредственному измерению) случайные достаточ­ные компоненты, отражающие влияние на y⁽¹⁾, y⁽²⁾, ..., y^(m) неучтенных «на входе» факторов

Рис. 3.11. Общая схема взаимодействия переменных при статистическом исследовании зависимостей

Таким образом, аппарат статистического исследования зависимостей — со­ставная часть многомерного статистического анализа — наце­лен на решение основной проблемы естествознания: как на основании частных результатов статистического наблюдения за анализируемыми событиями или показателями выявить и описать существующие между ними стохастические взаимосвязи.

Анализируемые переменные величины по своей роли в ис­следовании подразделяются на результирующие (прогнози­руемые) Y и объясняющие (предсказывающие, или предикторные) X. Среди компонент векторов Y и X могут быть и коли­чественные, и порядковые (ординальные), и классификацион­ные (номинальные). Центральным математическим объектом в процессе стати­стического исследования зависимостей является функция f (X), называемая функцией регрессии Y по X и описываю­щая, как правило, изменение условного среднего значения Ycр (X) результирующего показателя Y (вычисленного при фиксированных на уровне X значениях объясняющих пере­менных) в зависимости от изменения значений объясняющих переменных X. Конечные прикладные цели статистического исследования зависимостей: могут быть в основном трех типов:

1. Установ­ление самого факта наличия (или отсутствия) статистически значимой связи между Y и X, исследование структуры этих связей.

2. Прогноз (восстановление) неизвестных значений индивидуальных или средних значений результирующего показателя по заданным значениям соответствующих объясняющих (предикторных) переменных.

3. Выявление причинных связей между объясняющими переменными X и резуль­тирующими показателями Y, частичное управление значениями путем регулирования величин объясняющих перемен­ных X.

По своей природе исследуемые зависимости могут быть разделены на:

1)детерминированные (тип А), когда исследу­ется функциональная зависимость между неслучайными пере­менными;

2)регрессионные (тип В), когда исследуется за­висимость случайного результирующего показателя от не­случайных объясняющих переменных параметров систе­мы;

3) корреляционные (тип С), когда исследуется зависимость между случайными переменными, причем объясняющие пе­ременные могут быть измерены без искажений;

4) конфлюэнтные (типы D₁, и D₂), когда исследуется функциональная зависимость между случайными или неслучайными переменны­ми в ситуации, когда те и другие могут быть измерены только с некоторой случайной ошибкой.

Весь процесс статистического исследования зависимостей может быть разбит на семь последовательно реализуемых ос­новных этапов: этап 1 (постановочный); этап 2 (информацион­ный); этап 3 (корреляционный анализ); этап 4 (определение класса допустимых решений); этап 5 (анализ мультиколлинарности предсказывающих переменных и отбор наиболее информативных из них); этап 6 (вычисление оценок неизвестных параметров, входящих в исследуемое уравнение статистиче­ской связи); этап 7 (анализ точности полученных уравнений связи).

К основным типовым задачам практики, в которых исполь­зование аппарата статистического исследования зависимостей оказывается наиболее уместным и эффективным, следует от­нести задачи: 1) нормирования; 2) прогноза, планирования и диагностики; 3) оценки труднодоступных (для непосредст­венного наблюдения и измерения) характеристик исследуемой системы; 4) оценки эффективности функционирования (или качества) анализируемой системы; 5) регулирования пара­метров функционирования анализируемой системы. Все эти задачи являются основными составными частями центральной проблемы кибернетики — проблемы «управления, связи и пе­реработки информации».