4.3. Статистика вільних носіїв у домішкових напівпровідниках

У випадку напівпровідників з домішками або дефектами кристалічної ґратки (наприклад, вакансіями) вільні носії заряду можуть з’являтися також внаслідок переходів з локальних рівнів (донорних або акцепторних) у стани валентної зони або зони провідності. Кількість вільних носіїв заряду, викликаних переходами за участю певного локального рівня у забороненій зоні, пропорційна до кількості домішкових центрів або дефектів, що спричинили появу даного рівня. Крім того, як і у випадку зонних станів, заселеність рівнів електронами у стані термодинамічної рівноваги визначається функцією розподілу. Закон розподілу описується функцією, подібною до функції розподілу Фермі-Дірака

, (4.21)

де ε΄ – енергія рівня, а g – фактор виродження, – множник, значення якого залежить від природи локального рівня. Зокрема, у випадку мілких рівнів донорного типу g = 1/2, акцепторних – g = 2. Очевидно, рівноважна концентрація електронів, локалізованих на енергетичному рівні донорного або акцепторного типу, дорівнює добутку концентрації відповідних домішкових центрів на функцію розподілу (4.21).

Розглянемо мілкий донорний рівень з глибиною залягання E_d, створений домішковими атомами, концентрація яких N_d. За умови настільки малих температур, що появою властивої провідності можна знехтувати, кількість електронів у зоні провідності напівпровідника практично повністю визначається кількістю звільнених в результаті переходу до неї місць на домішковому рівні, тобто N_d[1 – f(-E_d)]. З іншого боку, вважаючи, що електрони в зоні провідності утворюють невироджений електронний газ (це справедливо при малих концентраціях домішкових атомів), їх концентрацію можна знайти, подібно до випадку досконалого напівпровідника, за формулою (4.15). Прирівнюючи названі величини, отримуємо рівняння для знаходження хімічного потенціалу напівпровідника n-типу

. (4.22)

Знайти розвозок рівняння (4.22) можливо тільки чисельними методами, проте у ряді граничних випадків це можна зробити й аналітично. Розглянемо їх детальніше.

При Т → 0 донорні центри слабко іонізовані, концентрація електронів, що з’явилися у зоні провідності внаслідок переходу з рівня одновалентної домішки,

.

Виконання цієї нерівності можливе за умови . Тоді (4.22) можна подати у вигляді

, (4.23)

звідки

. (4.24)

Другим доданком у (4.24) при Т → 0 можна знехтувати, так що – рівень Фермі у напівпровіднику n-типу знаходиться посередині між донорним рівнем і дном зони провідності.

Згідно (4.24), зростання температури приводить до зсуву хімічного потенціалу на шкалі енергій за рахунок зростання величини другого доданку. Його зміни із збільшенням температури немонотонні – він нелінійно зростає до тих пір, поки m_e^*k_BT < 2πħ², досягає максимуму у точці T_m = 2πħ²/(m_e^*k_B), а потім – зменшується. Відповідно змінюються і значення хімічного потенціалу (рис. 4.4), який у точці T_s досягає значення μ = − E_d, так що подальші переходи з донорного рівня неможливі. З цієї причини T_s називається температурою виснаження домішкового рівня.

Для оцінки величини T_s використаємо (4.22) вважаючи множник перед експонентою у лівій частині слабко залежним від температури (це можливо, оскільки ми працюємо у припущенні низьких температур). Тоді для температури виснаження домішкового рівня одержується вираз

, (4.25)

з якого видно, що величина T_s залежить від характеристик кристалу, типу і кількості домішкових атомів у ньому – m_e^*, E_d, N_d. Зокрема, впровадження атомів As у кристал Ge приводить до утворення донорних рівнів з глибиною залягання 0,01 еВ. Ефективна маса електрона у зоні провідності такого напівпровідника становить 0,23m₀ при концентрації N_d = 4,7∙10²¹ м^-3. Розрахована за формулою (4.25) температура виснаження домішкового рівня цієї системи становить 28 K.

Відповідно до (4.24), за умови T < T_s рівноважна концентрація електронів у зоні провідності, які перейшли з донорного рівня, визначається температурою кристалу і глибиною залягання рівня:

,

або, аналогічно до (4.19),

Рис. 4.4. Температурний зсув хімічного потен-ціалу електронів у напівпровіднику n-типу

, (4.26)

де В_d – практично незалежна від температури величина, значення якої залежить від типу кристалу, домішки та її концентрації, а Е_d – глибина залягання донорного рівня.

При температурах, вищих T_s, донорний рівень практично іонізований, усі електрони здійснили перехід з нього до зони провідності, а тому можна вважати, що n_d = N_d, звідки визначаємо температурну залежність хімічного потенціалу

. (4.27)

Аналіз формули (4.27) показує, що зростання температури від значення T_s приводить до майже лінійного зменшення хімічного потенціалу. У околі температури збудження властивої провідності T_і (рис. 4.4) швидкість зміни хімічного потенціалу зменшується, а його значення наближаються до величини, характерної для досконалого напівпровідника.

Температура збудження властивої провідності визначає граничні умови теплового режиму роботи напівпровідникових пристроїв. Величину T_і можна оцінити припустивши, що при її досягненні у зоні провідності зрівнюються концентрації електронів, збуджених переходами з валентної зони і з домішкового рівня, тобто n_i(T_i) = n_d(T_i). Звідси

. (4.28)

Підставляючи у одержану формулу значення величин, характерних для германію і кремнію при концентраціях домішкових атомів близько10²² м^-3, одержуємо T_і ≈ 500 K (Ge) і T_і ≈ 680 K (Si).

Зауваження. 1. У випадку домішки-акцептора усі висновки, описані вище, також залишаються справедливими з тією різницею, що хімічний потенціал системи електронів має протилежний напрямок температурного зсуву (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Температурний зсув хімічного потенціалу у напівпровіднику p-типу

Рис. 4.6. Заселеність рівнів компенсованого напівпровідника при Т = 0

Концентрація дірок у валентній зоні при T < T_s залежить від температури за законом, подібним до (4.26):

, (4.29)

де В_а – практично незалежна від температури величина, значення якої залежить від типу кристалу, домішки та її концентрації, а Е_а – глибина залягання акцепторного рівня.

2. Часто у напівпровідниках присутні як донорні, так і акцепторні домішкові центри. Їх присутність зменшує домішкову провідність одного типу (електронну або діркову) кристалу. З цієї причини такі напівпровідники називаються компенсованими. За умови рівної кількості валентних електронів атомів-донорів і місць на акцепторних рівнях при T = 0 домішки обох типів іонізуються, електрони заселять найнижчі дозволені енергетичні рівні у забороненій зоні (рис. 4.6), а кристал буде поводити себе як досконалий з властивим типом провідності.