81

Глава 4. Рекуррентные уравнения (соотношения)

4.1. Основные понятия и определения

Рекуррентные уравнения (соотношения), которые ранее уже неоднократно встречались (в том числе получались, строились), являются дискретными аналогами обыкновенных дифференциальных уравнений. Они, в отличие от дифференциальных, используемых в качестве математических моделей непрерывных систем, описывают динамику дискретных (импульсных) систем (одна из таких простейших систем фигурирует, в частности, в задаче Фибоначчи, рассмотренной в главе 2).

Любое рекуррентное уравнение связывает неизвестную величину f (n) – значение бесконечной числовой последовательности (решетчатой функции), служащей решением уравнения, с аналогичными величинами f ( i ), имеющими меньший индекс i ( i < n ).

Если для некоторой задачи удалось получить рекуррентное уравнение относительно f (n), то в принципе эта задача уже решена, так как можно одно за другим вычислять значения f (i) для последовательных значений индекса i = 1,2,3,... Недостаток такого решения состоит в том, что нет аналитического выражения (формулы) общего члена f (n) числовой последовательности. Это не дает возможности до расчетов оценить поведение f (n) как функции натурального аргумента n.

К сожалению, единых правил нахождения аналитического вида f (n) для любого рекуррентного уравнения не существует. Единообразный подход возможен лишь для линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами. Вопросы, связанные с нахождением формулы общего члена с помощью метода неопределенных коэффициентов, успешно применяющегося для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, являются предметом рассмотрения данной главы.

Отличия рекуррентных уравнений от дифференциальных проявляются прежде всего в основных понятиях и определениях, которые, с одной стороны, во многом схожи с аналогичными понятиями из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а с другой стороны, отражают специфику дискретных систем (объектов, процессов).

Общий вид рекуррентного уравнения, разрешенного относительно старшего члена (элемента последовательности) - функции натурального аргумента f (n), можно записать следующим образом

f (n+k) = F[ g (n), f (n+k–1), f (n+k–2), ... ,f (n) ], (n = 0,1,2,...), ( 4.1 )

где

k – порядок уравнения (k > 0), характеризующий глубину (продолжительность) связей между элементами искомой последовательности;

g (n) – заданная, как правило, аналитическим выражением последовательность – возмущающая функция натурального аргумента (ее присутствие в рекуррентном уравнении необязательно).

Так, например, три соотношения

f (n+1) = f (n) + 2 sin n ,

f (n+2) = f (n) – f (n+1) - 5n ∙ exp (- n),

f (n+3) = f (n) + 3 f (n+1) ∙ f (n+2)

являются соответственно рекуррентными уравнениями 1-го, 2-го и 3-го порядков. При этом в первых двух уравнениях роль возмущающей функции g (n) выполняют две последовательности

{ 2 sin n }, { -5n ∙ exp (- n) },

а в третьем уравнении функция g (n) отсутствует, т.е. g (n) = 0.

Частное решение  (или просто решение) рекуррентного уравнения - любая последовательность (решетчатая функция), удовлетворяющая уравнению (4.1), т.е. приводящая после ее подстановки в рекуррентное уравнение к тождеству.

Так, например, последовательность y (n) = { 2,4,8,..., , ... } является одним из частных решений рекуррентного уравнения

f (n+2) = 10 f (n) – 3 f (n+1),

в чем легко убедиться, если подставить y (n) в это уравнение.

Начальные условия  рекуррентного уравнения. Если в (4.1) n = 0, то будем иметь соотношение для k-го элемента последовательности

f (k ) = F [ g (0), f (k-1), f (k-2),..., f (0) ],

значение которого может быть вычислено с помощью уравнения, если предварительно задать совокупность значений

= { f (0), f (1), ... , f (k-1) }. ( 4.2 )

Эти значения (по аналогии с теорией дифференциальных уравнений, когда интегрирование сводится к решению задачи Коши) называются начальными условиями рекуррентного уравнения (4.1).

Общее решение  рекуррентного уравнения - последовательность

f (n) = f (n ,C ), ( 4.3 )

зависящая от k произвольных постоянных ( j = 1,2,...,k ) и отвечающая двум требованиям (см. пример 4.1):

1) для любых допустимых значений произвольных постоянных эта последовательность удовлетворяет уравнению (4.1), т.е. является одним из его частных решений;

2) для любой заданной совокупности начальных условий (4.2) найдутся такие постоянные , что последовательность (4.3) будет удовлетворять этим условиям, т.е. системе k уравнений

, ( i = 0,1,2,...,k-1)

относительно k искомых значений постоянных .