- •I. Выборочный метод. Вариационные ряды. Построение эмпирической функции распределения, гистограммы частот
- •II. Статистические характеристики вариационных рядов. M(X), d(X), σ(X), Mo, Me, показатели вариации. Асимметрия и эксцесс.
- •III. Вычисление групповых и общих средних, групповой, внутригрупповой, межгрупповой дисперсии и общей дисперсии
- •IV. Доверительный интервал и доверительная вероятность (интервальное оценивание)
- •V.Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •VI. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)
V.Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
Рассмотрим две генеральные совокупности ( и , распределенные нормально. Из них извлекаются две независимые случайные выборки с объемами и . Для каждой выборки найдены исправленные выборочные дисперсии:
(28)
(29)
Требуется сравнить эти дисперсии, т.е. проверить нулевую гипотезу . В качестве проверки этой гипотезы применяется статистика (наблюдаемое значение критерия):
( ), (30)
которая при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы и .
Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле (24) (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей) и по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости и числам степеней свободы , ( - число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти критическую точку . Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.
Правило 2. При конкурирующей гипотезе критическую точку ищут по уровню значимости (вдвое меньшему заданного) и числам степеней свободы и ( - число степеней свободы большей исправленной дисперсии). Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.
Алгоритм построения критических областей можно записать в виде таблицы №12:
Таблица №12
Нулевая гипотеза |
|
Конкурирующая гипотеза |
а) ; б) |
Уровень значимости для критерия |
(часто или ) |
Критерий |
( ) |
Критические точки |
Зависят от . а) ; б) ; находятся по таблице критических точек Фишера-Снедекора. |
Правило принятия решения |
Нулевая гипотеза отклоняется, если: а) ; б) . |
Пример 5. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых и . В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты:
Таблица №13
|
1,08 |
1,10 |
1,12 |
1,14 |
1,15 |
1,25 |
1,36 |
1,38 |
1,40 |
1,42 |
|
1,11 |
1,12 |
1,18 |
1,22 |
1,33 |
1,35 |
1,36 |
1,38 |
|
|
Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью ( ), если принять уровень значимости и в качестве конкурирующей гипотезы .
Решение.
Найдем выборочные средние и по формуле:
(31)
.
Вычислим исправленные дисперсии по формулам (28), (29):
;
;
.
Найдем , т.е. отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:
; ;
.
По таблице или с помощью встроенной функции Excel (статистические) FРАСПОБР( ; ; ), по уровню значимости и числам степеней свободы и находим критическую точку
.
Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.
Расчетная таблица:
Таблица №14
|
|
|
|
1,08 |
1,11 |
0,00256 |
0,00267 |
1,10 |
1,12 |
0,00196 |
0,00232 |
1,12 |
1,18 |
0,00144 |
0,00073 |
1,14 |
1,22 |
0,00100 |
0,00016 |
1,15 |
1,33 |
0,00081 |
0,00068 |
1,25 |
1,35 |
0,00001 |
0,00110 |
1,36 |
1,36 |
0,00144 |
0,00135 |
1,38 |
1,38 |
0,00196 |
0,00191 |
1,40 |
|
0,00256 |
|
1,42 |
|
0,00324 |
|
12,40 |
10,05 |
0,01698 |
0,01092 |
|
|
|
|
1,24 |
1,25625 |
0,01887 |
0,01248 |
|
|
|
|
|
10 |
|
1,51128 |
|
8 |
FРАСПОБР( ; ; ), |
3,67667 |
Задача 5. Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие данные и . Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости ?
Таблица №15
|
|
10,2 |
9,8 |
15,2 |
15,1 |
20,2 |
19,9 |
25,2 |
24,9 |
30,2 |
29,7 |
35,2 |
35,7 |
40,2 |
39,9 |
|
23,9 |