Практична робота 2 побудова та аналіз загальної економетричної моделі

Основні теоретичні положення

Загальна економетрична модель у матричному вигляді подається так:

Y = XA + u,

де Y— вектор залежної змінної;

X— матриця пояснювальних змінних;

А — вектор параметрів моделі;

u — вектор залишків.

Якщо для економічної інформації виконуються основні чотири передумови, то оцінити параметри можна методом найменших квадратів (1 МНК).

1) M(u)=0;

2)

3)

4) ;

.

У матричному вигляді оператор оцінювання 1МНК подається так:

де X— матриця пояснюючих змінних; — матриця, транспонована до матриці X; Y — вектор залежної змінної; — вектор оцінок параметрів моделі.

Множинний коефіцієнт детермінації, який визначає рівень варіації залежної змінної за рахунок незалежних, подається так:

Коефіцієнт детермінації без урахування числа ступенів свободи:

Співвідношення між ними набирає вигляду:

Множинний коефіцієнт кореляції характеризує тісноту зв'язку між залежною і незалежними змінними. Множинний коефіцієнт детермінації і кореляції задовольняє умову:

.

Гіпотезу про наявність чи відсутність зв'язку між залежною і незалежною змінними можна перевірити за F-критерієм:

Фактичне значення F-критерію порівнюється з табличним при ступенях свободи т-1 і п-т і вибраному рівні значущості. Якщо , то гіпотеза про значущість (істотність) зв'язку між залежною і незалежними змінними економетричної моделі підтверджується, у противному разі — відхиляється.

Альтернативна формула F-критерію через коефіцієнт детермінації набирає вигляду

Статистичну значущість оцінок параметрів моделі можна визначити на основі t-критерію:

Значення критерію порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості і п-т ступенях свободи. Якщо , то відповідний параметр економетричної моделі є статистично значущий.

На основі t-критерію і стандартної помилки будуються довірчі інтервали для параметрів :

Прогноз залежної змінної на основі економетричної моделі при заданих залежних змінних можна виконати згідно з таким співвідношенням:

У цьому співвідношенні є стандартною похибкою прогнозу:

де Х_р — прогнозні значення незалежних змінних; Х'_р — матриця, транспонована до матриці Х_р.

Приклад. Нехай необхідно побудувати економетричну модель продуктивності праці. Як відомо, продуктивність праці є одним з найважливіших показників ефективності використання робочої сили. У цьому показнику відбиваються всі чинники економічної діяльності: технічний рівень та використання основних виробничих фондів, організація виробництва і праці, соціально-економічна характеристика трудового колективу та умови його життя і діяльності. Щоб керувати рівнем продуктивності праці, приймати обґрунтовані рішення щодо його зміни в перспективі, необхідно знати, якою мірою той чи інший чинник економічної діяльності впливає на продуктивність праці. Базуючись на прогнозних значеннях основних чинників, що впливають на продуктивність праці, можна визначити реальний рівень її зростання на перспективу.

Найпридатнішими для побудови економетричної моделі продуктивності праці є такі аналітичні форми функцій:

• лінійна;

• степенева.

Запишемо загальний вигляд цих функцій:

лінійна — ; (1)

степенева — , (2)

де Y— продуктивність праці, залежна змінна;

Xj (j = 1, 2, 3,...,m) — чинники економічної діяльності, що впливають на продуктивність праці (незалежні або пояснювальні змінні);

u — стохастична складова, яка акумулює в собі вплив усіх випадкових чинників;

параметри моделі продуктивності праці.

Лінійна форма моделі продуктивності праці відтворює адитивний закон формування продуктивності праці (рівень продуктивності праці є сума часток, що їх вносить у загальний рівень кожний чинник).

Степенева форма відтворює мультиплікативний закон формування продуктивності праці (рівень продуктивності праці є добуток часток, що їх вносить у загальний рівень кожний чинник).

Неважко помітити, що узявши логарифми (натуральні або десяткові) лівої та правої частин виразу (2), можна перейти від степеневої до лінійно-логарифмічної моделі продуктивності праці:

тобто степенева функція реалізується як лінійна, якщо вихідні дані для побудови моделі брати не в абсолютних одиницях їх виміру, а в логарифмах.

Побудувати модель продуктивності праці — це означає оцінити параметри моделі .

Однією з основних економічних характеристик моделі продуктивності праці є показник середньої ефективності чинників, для визначення якого треба взяти відношення: .

Цей показник визначає, як у середньому зміниться продуктивність праці, якщо j-й чинник змінюється на одиницю, а peшта т - 1 є сталими.

Оскільки на параметри моделі (2) можна накладати обмеження:

то з огляду на показник середньої ефективності чинників можна стверджувати: коли в моделі (2) збільшити лише один чинник, а решту залишити без зміни, то середня ефективність робочої сили знизиться. Це відповідає економічній дійсності. Наприклад, якщй серед т чинників є фондомісткість продукції, то вона збільшиться на одиницю, а решта чинників залишаться без змін. Отже, відношення продуктивності праці до фондомісткості зменшиться. Справді, продуктивність праці зростатиме лише в тому разі, коли збільшення основних фондів скорочуватиме частку ручної праці, вивільняючи робочу силу.

Другою впливовою економічною характеристикою є показник граничної ефективності

Він характеризує граничну зміну продуктивності праці залежно від зміни певного чинника на одиницю за умови, що решта чинників не змінюються.

Для моделі (1) гранична зміна продуктивності праці від кожного чинника визначається параметром моделі , тобто вона є незмінною для кожного спостереження вихідної сукупності даних. Для моделі (2) гранична зміна продуктивності праці буде змінюватись зі зміною чинників, оскільки:

і т.д.

Між показниками середньої і граничної змін продуктивності праці від певного чинника існує така залежність:

Ця залежність свідчить, що гранична ефективність продуктивності праці менша за середню. Графічно це можна зобразити так:

Співвідношення граничної ефективності чинників та її абсолютних значень є мірою ефективності використання чинників:

Максимальна продуктивність досліджуваних чинників досягається тоді, коли річний приріст від використання однієї додаткової одиниці дорівнює вартості цієї одиниці, тобто коли

.

Відносна гранична ефективність чинників називається коефіцієнтом еластичності й обчислюється так:

Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться рівень продуктивності праці зі зміною відповідного чинника на 1% (інші незмінні).

Для лінійної моделі продуктивності праці цей показник дорівнює:

тобто він змінюється для кожного спостереження, оскільки залежить від значення Y та X_j. Середній коефіцієнт еластичності для всієї сукупності спостережень визначається так:

— середні значення вихідних даних.

У степеневій моделі продуктивності праці коефіцієнти еластичності є сталими для кожного спостереження сукупності і дорівнюють параметрам цієї моделі :

Модель продуктивності праці дає змогу знайти різні комбінації значень чинників, при яких забезпечується заданий (фіксований) рівень продуктивності праці.

Для цього потрібно розв'язати рівняння продуктивності праці відносно одного з чинників, вважаючи його залежною змінною. Так, для моделі (2) маємо:

і т.д.

Здобуті рівняння можна тлумачити як співвідношення, що визначають залежність між чинниками при заданому рівні продуктивності праці. Вони є аналітичним виразом ізокванти продуктивності праці. Ізокванти показують, як можна змінити сукупність чинників для досягнення деякого заданого рівня продуктивності праці.

Якщо певне значення продуктивності праці можна дістати при різних комбінаціях чинників, то їх можна вважати взаємозмінюваними щодо певного рівня продуктивності праці і побудувати відносні норми заміщення чинників.

Рівняння граничної норми заміщення чинників можна дістати так:

Для розрахунку цих норм доцільно застосовувати таке співвідношення:

.

Гранична норма заміщення показує, на скільки слід збільшити чинник , щоб зі зменшенням на одиницю продуктивність праці залишилася без змін.

Для лінійної моделі продуктивності праці цей показник дорівнює .

Для степеневої моделі маємо:

тобто для цієї моделі норма заміщення чинників залежить не лише від параметрів, а й від співвідношення значень відповідних чинників.

Використовуючи рівняння граничної норми заміщення чинників, можна визначити шляхи зростання продуктивності праці — ізокліналі, що показують, яку комбінацію чинників потрібно взяти для досягнення запланованого рівня продуктивності праці за умови, що гранична норма заміщення незмінна.

Відносний показник норми заміщення називається еластичністю заміщення і подається так:

Для степеневої моделі еластичність заміщення є стала і дорівнює одиниці.

Важливою економічною характеристикою моделі продуктивності праці є сумарна еластичність:

Для степеневої моделі .

Сумарна еластичність показує, на скільки відсотків зміниться продуктивність праці, якщо всі чинники одночасно зміняться на 1 %. Вона може набувати трьох значень: А =1; А<1; А>1.

При А = 1 зміна всіх чинників у r раз сприятиме зростанню продуктивності праці також у r раз.,

Якщо А < 1, то зміна кожного чинника на 1% (у г раз) сприятиме зростанню продуктивності праці менш ніж на 1% (меншіе ніж у г раз).

Якщо А > 1, то зміна кожного чинника на 1% (у г раз) сприятиме зростанню продуктивності праці більше ніж на 1% (більше ніж у r раз).

Побудова економетричної моделі продуктивності праці

1. Побудувати модель продуктивності праці, що характеризує залежність між продуктивністю праці і основними чинниками, які впливають на неї.

2. Оцінити статистичну значущість моделі та оцінок її параметрів і зробити висновки.

3. Обчислити всі економічні характеристики взаємозв'язку зробити економічний аналіз.

4. Виконати прогноз продуктивності праці на наступні чотири місяці, якщо задані очікувані значення чинників, що впливають на неї.

Вихідні дані наведені в табл. 1.

Таблиця 1

Місяць	Продуктивність праці, гр. од/ людино-год	Фондомісткість продукції, гр. од.	Коефіцієнт плинності робочої сили, %	Рівень втрат робочого часу, %	Стаж, рік
1-й	52	72	13,0	2,7	5,0
2-й	53	74	12,5	2,8	5,5
3-й	50	72	12,0	3,0	5,0
4-й	51	73	11,0	3,2	6,0
5-й	54	70	10,1	3,2	7,0
6-й	55	67	9,0	3,3	8,0
7-й	57	67	8,5	3,4	10,0
8-й	52	62	8,2	3,6	10,0
9-й	60	72	8,0	3,7	10,5
10-й	60	72	5,5	3,7	11,0
11-й	62	74	5,0	3,4	13,0
12-й	64	75	4,7	4,0	10,0
13-й	65	76	4,6	4,2	12,0
14-й	67	80	4,0	4,3	13,0
15-й	67	82	4,1	4,7	14,0
16-й	62	84	4,2	4,8	14,5
17-й	63	84	4,5	4,8	15,5
18-й	66	87	4,0	4,9	17,0
19-й	68	90	4,0	5,0	16,5
20-й	70	92	3,0	4,7	17,5
21-й		92	4,0	5,2	17,6
22-й		93	5,0	5,3	17,7
23-й		93	5,0	5,4	17,8
24-й		94	6,0	5,4	17,9

Розв 'язування