9.3. Позиционные системы счисления

В позиционной системе счисления величина, которую обозначает знак алфавита системы счисления в записи числа, зависит от положения этого знака в коде числа (от его позиции в коде числа).

Различные числа в привычной для нас десятичной системе счисления: 362, 236, 623. Коды чисел различаются расположением цифр - позициями, которые цифры занимают в кодах чисел.

В позиционных системах счисления некоторые общие понятия имеют собственные имена: основание системы счисления, разряд кода числа.

Мощность алфавита позиционной системы счисления называется основанием системы счисления.

Основание позиционной системы счисления: количество цифр, используемых для записи кодов чисел (обозначим основание буквой p).

Разряд: позиция цифры в коде числа.

В таблице (Рис. 9.3.1.) представлены некоторые позиционные системы счисления. Ещё раз отметим: для любого человека «родной» является десятичная система счисления, поэтому основания систем счисления записываются в привычной для человека системе счисления. Наименование системы счисления соответствует её основанию (десятичная, двоичная и т.д.).

Название позиционной системы счисления	Основание системы счисления
двоичная	p= 2
троичная	p= 3
восьмеричная	p= 8
десятичная	p=10
шестнадцатеричная	p=16

Рис. 9.3.1.

Алфавит позиционной системы счисления есть арифметическая последовательность цифр от 0 до числа p-1 с разностью d = 1 (Рис. 9.3.2.).

Т. к. цифра алфавита системы счисления должна отображаться одним знаком, то для систем счисления с основанием q>10 (десяти), в качестве некоторых цифр используются буквы латинского алфавита.

Основание системы счисления определяет, во сколько раз различаются значения двух одинаковых цифр, стоящих в соседних разрядах кода числа.

Рассмотрим пример в привычной для человека 10-ичной системе счисления. Десятичное число 440. Мы знаем, что младшая цифра 4 представляет собой число 40 (4*10), а старшая цифра 4 – число 400 (4*100 = 400). Таким образом, значения находящихся в соседних разрядах цифр, различаются в 10 раз.

Система счисления	Алфавит
2-ичная	0,1
3-ичная	0,1,2
8-ичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10-ичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
16-ичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)

Рис. 9.3.2.

Запишем в общем виде код числа А в позиционной системе счисления с основанием р, имеющий n разрядов в целой части и m разрядов в дробной части:

А_р = a_n-1 a_n-2...a_i…a₁ a_0, a_-1a_-2…a_-j…a_-m

Индекс в обозначении числа А_р указывает на название (основание) позиционной системы счисления. Говорят: р – ичная система счисления.

Обычно при записи в общем виде номер младшего разряда целой части числа обозначается «0», а номер старшего разряда дробной части обозначается «-1».

Каждый разряд имеет свой вес. В представленном в общем виде коде числа вес i-го разряда целой части числа: В_iц = pⁱ, вес j-го разряда дробной части числа: В_jд = р^-j.

Код числа	362 в 10-ичной системе счисления
Цифра разряда	3	6	2
Номер разряда	2	1	0
Вес разряда	10^2 = 100	10^1 = 10	10^0 = 1
Число, которое представляет каждая цифра	300	60	2
Число, записанное кодом 362	Триста шестьдесят два

Рис. 9.3.3.

Код числа	24,876 в 10-ичной системе счисления
Цифра разряда	2	4	8	7	6
Номер разряда	1	0	-1	-2	-3
Вес разряда	10^1 = 10	10^0 = 1	10^-1 = 0,1	10^-2 = 0,01	10^-3 = 0,001
Число, которое представляет каждая цифра	20	4	0,8	0,07	0,006
Число, записанное кодом 24,876	Двадцать четыре целых восемьсот семьдесят шесть тысячных

Рис. 9.3.4.

На рис. 9.3.3. и 9.3.4. представлены коды чисел с расшифровкой весов каждого разряда кода числа.

Вес i – го разряда числа: результат возведения основания системы счисления в степень, величина которой определяется положением этого разряда в коде числа.

По определению позиционной системы счисления, каждая цифра кода числа представляет собой число, величина которого зависит от разряда, в котором находится эта цифра.

Формы записи в позиционной системе счисления любого числа:

• код числа (свёрнутая форма записи): 24,876

• развёрнутая форма записи кода числа: 24,876 = 2*10⁺¹ + 4*10⁰ + 8*10^-1 +7*10^-2 + 6*10^-3

Общая формула развёрнутой формы записи кода числа A в системе счисления с основанием р, имеющего в целой части n разрядов и в дробной части m разрядов:

Представим развёрнутую форму записи кода числа в р-ичной системе счисления:

A_p = a_n-1*p^n-1+ a_n-2*p^n-2+… a_i*pⁱ+…+ a₁*p¹+ a₀*p⁰+

+ a_-1*p^-1+ a_-2*p^-2+…+ a_-j*p^-j+…+ a_-m*p^-m

Это выражение есть сумма степеней основания системы счисления р с коэффициентами, которыми являются цифры кода числа. Другое название этого выражения: полином по степеням основания системы счисления (полином).

Рассматривая развёрнутую форму записи кода числа, можно сказать, что число является суммой составляющих.

Каждая составляющая есть произведение цифры числа на вес разряда.

A_(i)=a_i*pⁱ; A_(i) >=1; A_(-j) = a_-j *p^-j; A_(-j) <1

Определим, могут ли соседние составляющие быть равными? Для простоты ограничимся целыми числами. Очевидно, такой случай наиболее вероятен, кода цифра последующего разряда минимальна, т.е. a_i+1=1 (естественно, исключается случай, когда a_i+1=0 ), а цифра предыдущего разряда, напротив, максимальна, т.е. a_i=p-1.

Определим составляющую числа для последующего разряда:

A_(i+1) = a_i+1*pⁱ⁺¹ = 1* pⁱ⁺¹ = pⁱ⁺¹

и составляющую числа для предыдущего разряда:

A_(i) =a_i*pⁱ=(p-1)*pⁱ

Рассмотрим отношение этих составляющих:

Из этого выражения видно, что всегда составляющая числа для минимальной цифры последующего разряда больше в р/р-1 раз составляющей числа для максимальной цифры предыдущего разряда. Например, для 10-ичного числа 1919 рассмотрим 2 пары составляющих для 2 пар разрядов «последующий-предыдущий»: 1000 – 900 и 10 – 9. Вы видите, что значение отношений составляющих в этих парах одно – 10/9.

В компьютерах все данные, какой бы характер они ни имели: числа, текст, рисунки, звуки, представлены в двоичной системе счисления. В процессе разработки программ для компьютеров, особенно программ управления функциональными элементами компьютеров, специалистам-программистам приходится читать и анализировать содержимое памяти компьютера. Коды чисел в 2-ичной системе счисления имеют большое количество разрядов. Чтобы человеку легче было читать и понимать эти числа, их преобразуют в 8-ичную или 16-ичную систему счисления. В этих системах счисления коды чисел короче кодов в двоичной системе счисления. В 70-х годах в Институте кибернетики в г. Киеве была создана вычислительная машина Мир в 3-ичной системе счисления, но эта система не получила распространения.