Принцип максимума свободы в экономике.
3.2
О возможности построения математической теории
движения социально-экономических систем. Вывод формулы Коба-Дугласа.
Вступление.
Планирование экономической деятельности социально-экономических систем является одной из важнейших функций управления, которая должна обеспечивать получение максимально возможной прибыли (когда речь идет об микроэкономических системах – предприятиях), или максимально возможные темпы развития экономических систем (когда мы говорим про макроэкономические системы – страна, регион, отрасль экономики). В свою очередь, планирование невозможно без прогнозирования макроэкономических параметров, коньюктуры рынка, покупательной способности населения и т. п. К сожалению, сегодня отсутствует единая теория развития экономических систем, поэтому прогнозирование, в большинстве случаев, является недостаточно точным и не удовлетворяет требованиям практики. Так, анализ причин неудач инвестиционных проектов показал, что 45% из них приходится на неточное прогнозирование спроса.
Из последних исследований по проблеме математического моделирования (и, значит, прогнозирования) следует отметить монографию Г.И. Бакнянина «Про периодическую матрицу экономических систем», в которой автор сделал попытку упорядочить экономические системы, используя понятия производственных, рыночных, потребительских потенциалов. По сути, данная работа направлена на построение экономического пространства и изучение его свойств без рассмотрения функциональных зависимостей между объектами этого пространства.
Также следует отметить работу Лошенюка «Моделирование конкурентных взаимодействий предприятий на рынке однородной продукции», в которой автор для описания движения конкурирующих экономических субъектов использует систему нелинейных дифференциальных уравнений первой степени вида
где
- полиномы второй степени относительно
неизвестных долей рынка j- той фирмы
.
К сожалению, в данной статье нет указания на точность данных моделей и исследований по их возможному применению на практике.
По имеющимся публикациям можно сделать вывод о том, что различные экономические школы придерживаются разных точек зрения на сущность экономических процессов и, как следствие, на то, какими математическими зависимостями следует описывать движение экономических субъектов. Так, в работе В. Тимкова «Новые подходы к экономико-математическому анализу моделей межотраслевого баланса» предлагается описывать движение экономических систем с помощью уравнений Леонтьева, которые представляют собой систему линейных однородных уравнений, которые в свою очередь решаются с помощью метода дробно-линейной аппроксимации. А в работе Унковской Т.Е. «Трансмиссионный механизм монетарной политики в контексте экономического роста» при получении оптимального размера денежной массы использована формула Коба-Дугласа.
Обобщая, рассмотрим современные методы экономического прогнозирования. Их можно разделить на три большие группы:
экономометрические методы и модели (метод наименьших квадратов, скользящего среднего, моделирование с помощью временных рядов и т.п.);
сценический подход (теория игр, цепи Маркова, теория графов и т.д.);
методы экспертных оценок (метод Делфи, метод мозгового штурма).
Каждый из этих трёх подходов имеет недостатки. Так, экономометрические методы не отоброжают сути экономических процессов и причины экономических явлений. Как следствие – низкая точность при долгосрочном прогнозировании. Сценический подход, основанный на использовании теории игр, хорошо отображает стохастическую природу экономических явлений, но будущее в нём – многовариантное, поэтому прогнозы, полученные с помощью этого подхода, не могут быть основой для разработки долгосрочной стратегии развития экономической системы и принятия стратегических управленческих решений. Методы экспертных оценок на сегодняшний день являются наиболее распространенными, в первую очередь, благодаря их простоте, но эти методы не дают точной количественной оценки будущих макроэкономических параметров и являются очень субъективными, математически не обоснованными.
Значит, можем сделать вывод о необходимости разработки новых математических методов экономического прогнозирования, которые дали бы возможность получить точную количественную оценку макроэкономических параметров на долгосрочный период.
Отсюда вытекает основная цель данной главы – построить общую математическую модель экономической системы в виде системы уравнений и показать возможные методы ее решения.
3.2.2.
Общая математическая модель экономической системы
Под экономической системой мы будем понимать (в пределах данной статьи) совокупность экономических субъектов, которые совершают движение в экономическом пространстве путем взаимодействия между собой. Для определения термина “экономическое пространство” заметим, что состояние какого-либо экономического субъекта в какой-либо промежуток времени можно охарактеризовать с помощью конечного количества изменяемых числовых независимых параметров, или координат экономического пространства, которые дают полную информацию о данном субъекте. Наиболее приемлемыми параметрами, которые бы полностью характеризовали состояние экономического субъекта, очевидно, являются количество денег на его расчетных счетах и кассе, а также количество товаров, которыми владеет данный субъект. Таким образом, экономическое пространство – это вся совокупность возможных значений параметров, которыми характеризуются экономические субъекты.
Введем следующие обозначения:
Yj(t) - количество денег на счетах і- того субъекта в момент времени t;
Xij(t) - количество і-того товара на складах и в незавершенном производстве j-того субъекта в момент времени t;
- вероятность
приобретения і-того товара j- тым
покупателем у k-того продавца;
- вероятность
поступления денег за і-тий товар от
j-того покупателя к k-тому продавцу.
Допуская, что количество денег на счетах и товаров на складах достаточно велико, можем сказать, что в среднем то количество денег, что получил k-й продавец от j-того покупателя как плату за і-тий товар, равняется произведению вероятности этого события на количество денег, которое есть у покупателя, то есть
(3.2.1)
А количество і-того товара, что перешло от k-того продавца к j-тому покупателю равняется произведению вероятности этого события на количество товара, которым владеет продавец:
(3.2.2)
Из (1) и (2) следует, что цена продажи Pijk i-того товара для j-того покупателя у k-того продавца равняется
(3.2.3)
Для того, чтобы
выполнялось условие Yj
0,
то есть расходы экономического субъекта
не превышали количество денег на его
счетах, необходимо, чтобы выполнялось
следующее
(3.2.4)
где:
N- количество разных товаров, что циркулируют в экономической системе;
M - количество экономических субъектов.
Заметим, что
- количество денег, оставшееся у k-того
субъекта для выполнения экономических
операций. Аналогичные выкладки можна
привести для каждого товара, которым
владеет субъект. То есть для того, чтобы
отгрузка со склада k-того субъекта не
превышала того количества товара,
который там хранится, необходимо
выполнения условия:
(3.2.5)
Количество і-того
товара, которое осталось на складе
k-того субъекта, равняется
Для того, чтобы получить возможность описать процессы изменения товарних запасов в следствии производства и потребления, введем две новые функции:
- относительное
прирощение і-тых товарных запасов в
результе производства их j-тым субъектом,
причем количество изготовленного
продукта равняется
;
- относительное
сокрощение і-тых товарных запасов
j-того субъекта в результате потребления,
причем количество использованных
товаров равняется
.
Таким образом, учитывая формулы (1) и (2), мы можем записать выражения для изменения положения всех M экономических субъектов в экономическом пространстве:
(3.2.6)
где
- соответственно изменение денежных
средств и количество товарных запасов
j-того субъекта.
Система уравнений
(5) вместе с условиями (4) и (5) и условиями
может
быть использована для описания движения
экономических субъектов в случае, когда
общее количество денег на счетах является
постоянной величиной, а также нам
известны все функции времени
.
Запишем выражение
для изменения возможности получить
финансовые средства для k-того субъекта
в результате производства или потребления
і-того товара
.
Очевидно, это будет вероятность
приобретения і –того товара j-тым
покупателем у k-того продавца, умноженная
на цену товара и его количество. Суммируя
по индексу j (по покупателям) получаем:
(3.2.7)
Используя формулу (3) можна записать
(3.2.8)
Обозначим:
(3.2.9)
Тогда выражение (8) перепишется в виде
(3.2.10)
Заметим, что
- это деньги, которые были уплачены
k-тому продавцу за і-тый товар всеми
субъектами экономической системы.
Рассмотрим замкнутую экономическую систему, в которой производится продукт П путем использования капитала K и труда L. Изменение возможности получить средства для такой системы будет иметь вид:
(3.2.11)
где:
- деньги, которые
были получены за продукт П;
и
- соответственно деньги, что были
потрачены на приобритение капитала K и
труда L;
- относительное
изменение запасов продукта П, капитала
K и труда L в следствии производства и
использования данных ресурсов.
Условия замкнутости можна записать в следуещем виде:
(3.2.12)
Суть формул (12) состоит в том, что возможность получить средства для всей системы является неизменной величиной; изменение запасов ресурсов в системе происходит только в процессе производства и потребления (изменение запасов в результате торговых операций не происходит); и сумма денег, потраченных на приобретение продукта, полностью идет на покупку капитала и труда, включая также плату за предпринимательский ресурс. Таким образом, уравнение (11) можем переписать в следующем виде:
(3.2.13)
Обозначая:
(3.2.14)
и делая переход от
прирощений
к диференциалам d уравнение (13) перепишем
в виде:
(3.2.15)
Принимая, что части
капитала
и
труда
в изготовленном продукте является
постоянными величинами, и интегрируя
уравнение (15) получим формулу Коба-Дугласа
(3.2.16)
где:
А - постоянная интегрирования.
Как видим, формула Коба-Дугласа может быть использована только в очень ограниченных случаях, потому что в современном мире нет замкнутых экономических систем, кроме того, части капитала и труда в конечном продукте могут быть переменными величинами.
Предпологая, что
- потенциальная
энергия изготовленного продукта;
- потенциальная
энергия затраченного капитала;
- потенциальная
энергия использованого труда,
из (11) с учетом (12) можно сделать вывод о том, что
в замкнутой системе потенциальная энергия изготовленного продукта равняется сумме потенциальных энергий затраченных труда и капитала.
3.2.4.
Пути дальнейших исследований и выводы
Раньше было показано, что система уравнений (6) вместе с условиями (4) и (5) и условиями может быть использована для описания движения экономических субъектов в случае, когда совокупное количество денег на счетах является постоянной величиной, а также нам известны все функции времени . Но – функции пока что нам неизвестны, поэтому возникает вопрос о методах их определения. Решая эту задачу укажем, что практически все уравнения и законы, которые описывают движение физических объектов, могут быть получены с помощью минимаксных принципов, например, принцип максимума энтропии в термодинамике, минимума потенциальной энергии в механике деформированного твердого тела и другие, а в работе [1] было показано, что биологические и социально-экономические системы подчиняются принципу максимума возможности совершать движения (в широком понимании этого слова). Возможность получать деньги благодаря производству какого-либо товара – один из видов экономического движения, поэтому можем сказать, что эта возможность должна стремится к максимуму. Рассматривая условие (10) можем указать, что возможность получать деньги будет максимальной тогда, когда будут максимальными количество перечисленных денег за изготовленный продукт и абсолютное производство товаров, а относительное потребление и остатки товарной продукции на складах и в незавершенном производстве будут минимальными. Это и происходит на практике: предприятия прилагают много усилий, чтобы увеличить объемы производства и величину финансовых поступлений и уменьшить издержки и товарные запасы. То есть, наш тезис про максимизацию экономического движения подтверждается практикой. Нужно также сказать, что для использования математического аппарата поиска экстремума функционала в данном случае нужно учесть изменение возможности совершать движение в следствии торговой деятельности и в следствии потребления товаров, что являются предметом дальнейших исследований.
Вторым важнейшим направлением научного поиска может быть исследование зависимости относительного производства от ряда факторов, среди которых можно выделить объем использования труда и капитала и коньюктуру рынка (спрос). Вполне вероятно, что эту зависимость графически можно показать так:
рис.1
Как видим на диаграмме,
сначала, в следствии роста спроса
,
пропорционально увеличивается и
относительное производство
,
что отображает ситуацию, когда имеются
незанятые ресурсы (кейсианский случай).
После того момента, когда все незанятые
ресурсы будут использованы (на диаграмме
это точка
,
),
а спрос продолжает расти, относительное
производство тоже будет увеличиваться,
но уже меньшими темпами, что объясняется
необходимостью перестраивать ресурсы,
которые были задействованы для
производства других товаров. После
того, как в производстве данного товара
будут задействованы все ресурсы, которые
есть в системе (на диаграмме эта точка
,
),
дальнейшее увеличение спроса не будет
сопровождаться ростом производства,
при этом экономическая система может
распадаться, как это случилось с Советским
Союзом, когда большой спрос на товары
повседневного использования не
сопровождался ростом их производства.
Вполне вероятно, что константы
,
,
,
зависят от промышленного потенциала
экономической системы, уровня развития
производственных отношений, ментальности
населения и многих других факторов.
Можем только надеяться, что нам удастся
определить эти константы на основе
статистических данных, потому что тогда
появиться возможность расчета
социально-экономической системы для
того, чтобы предвидеть и не допускать
негативные последствия возможных
социальных потрясений.
Обратим внимание, что связывать производство со спросом несколько непривычно для экономических теорий, но – существует ли эта зависимость на практике?
Допустим, что производство товаров прямо пропорционально произведению спроса на эти товары на запасы данных товаров на складах и в незавершенном производстве. Вообще, можем сказать, что валовый внутренний продукт увеличивается пропорционально произведению средств населения и предприятий, что тратятся на его приобретение, и сумме товарно-материальных ценностей в оборотных средствах и основных средствах, то есть
(3.2.17)
где:
ВВП – валовый внутренний продукт;
ТМЦоб – запасы товарно-материальных ценностей в оборотных средствах;
ОЗ – основые средства;
Дн - доходы населения;
Інвок – инвестиции в основной капитал;
Е – экспорт;
І – импорт;
А,В – постоянные.
Статистические данные приведены в табл.1, результаты расчетов – в табл. 2.
Таб.1
-
год
ТМЦоб
ОЗ
Інвок
Дн
Е
І
1996
38,22
843,00
12,60
40,31
34,94
34,39
1997
46,15
866,00
12,40
50,07
35,37
34,44
1998
54,07
841,00
14,00
54,38
40,17
39,44
1999
62,68
848,00
17,60
61,87
62,78
53,28
2000
76,95
829,00
23,63
128,74
98,36
82,06
2001
87,53
915,48
32,57
158,00
104,91
89,54
2002
93,35
965,76
37,18
185,07
117,31
97,05
2003
111,26
990,44
51,01
215,80
145,55
130,62
Таб 2.
год |
ВВПфакт |
А |
В |
КВ_Пирс |
ВВПрасч |
ТФишера |
отн. погр |
1996 |
81,52 |
1,36E-03 |
1,67E+01 |
9,93E-01 |
80,93 |
9,96E-01 |
0,73% |
1997 |
93,37 |
95,53 |
2,32% |
||||
1998 |
102,59 |
101,02 |
1,53% |
||||
1999 |
127,13 |
127,12 |
0,00% |
||||
2000 |
170,07 |
5,82E-04 |
8,13E+01 |
9,92E-01 |
170,20 |
9,95E-01 |
0,08% |
2001 |
204,19 |
201,46 |
1,34% |
||||
2002 |
225,81 |
230,72 |
2,17% |
||||
2003 |
264,17 |
261,86 |
0,87% |
Данные таблицы 1 представлены в фактических ценах в миллиардах гривен, значения экспорта и импорта тоже представлены в фактических ценах в гривнах по среднему годовому курсу. Разделение годов на два интервала было сделано потому, что, начиная с 2000 года, доходы населения подсчитывались по совсем другой методике, как это видно из таблицы 1 и про что есть ссылка в [2, ст. 421].
Как видим из таблицы 2, и квадратичный коэффициент корреляции Пирсона (КВ_Пирс), и тест Фишера (ТФишера), и абсолютные значения относительной погрешности (отн. погр) указывают на существование зависимости вида (17). Более детальную проверку этой гипотезы можно будет сделать в будущем по мере накопления точных статистических данных.
Нужно также обратить внимание на то, что свободный член В в обоих случаях не равняется нулю, как это предвиделось сначала. Это можно объяснить тем, что производство товаров возможно и без начального спроса или накопленных материальных ценностей, или тем, что в последние годы Украина находится в состоянии недостатка производственных мощностей, то есть состояние нашей страны на диаграмме 1 обозначается точкой в области ІІ.
Выводы:
разработан категориальный аппарат, который позволяет математически формализовать задачу об описании поведения экономических субъектов во времени;
получено выражение для приращения возможности получать доход от производства продукции и условия замкнутости экономической системы;
на основе этого получена формула Коба-Дугласа как частный случай использования разработанного категориального аппарата;
показано, что возможность получать доход является энергетическим критерием социально-экономических систем;
установлено линейную зависимость между относительным производством товара и спросом на него;
сформулированы пути дальнейших исследований в направлении разработки методов описания движения экономических систем и определение их основных параметров.