ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики

(технический университет)”

Подлежит возврату

№

Моделирование систем

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ №№ 1, 2, 3, 4

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Для студентов специальности 220201

МОСКВА 2011

Составители: А.В. Алешин

В.В. Болдов

Редактор А.В. Кочемасов

Методические указания содержат руководство для выполнения лабораторных работ по курсу "Моделирование систем".

Материал предназначен для студентов 4 курса дневного отделения факультета "Кибернетика" специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах». Методические указания содержат описание и порядок выполнения лабораторных работ, в которых изучаются методы построения и использования математических моделей при анализе и проектировании технических систем.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета).

Рецензенты: м.Х. Дорри,

© Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет), 2011

Лабораторная работа №1 Применение методов интерполяции для решения задач моделирования систем

1. Цель работы

Цель предлагаемой лабораторной работы — показать главные идеи в области вычислений и изучить методы интерполяции для построения математических моделей устройств автоматических систем. Первые работы для решения задачи моделирования обычно связаны с вычислением значений функции. Главными инструментами здесь являются «общее чутье» и «маленькие хитрости».

Второе, — это интерполяция недостающих в таблице значений, например, в логарифмической или тригонометрической таблице. В процессе решения задачи интерполяции исходными данными являются несколько узлов функции и нужно вычислить приближенно некоторые значения, которых нет в таблице. В большинстве таблиц сделано предположение, что функция ведет себя между последовательно взятыми точками, как прямая, хотя в ряде случаев разумно предположить, что она ведет себя, как квадратный трехчлен и даже многочлен более высокой степени. Приемы интерполяции используются для других вычислительных задач таких как интегрирование, дифференцирование, нахождение нулей, решение дифференциальных уравнений, оптимизация, задач анализа и проектирования систем

2.Основные методы построения интерполяционных моделей

Классический численно-аналитический подход заключается в том, чтобы использовать некоторые узлы функции для получения прибли­жающего многочлена и затем выполнить аналитическую операцию над этим многочленом. Этот процесс может быть назван «аналитической заменой», так как функция, которую невозможно обработать, заменяется другой функцией, над которой уже можно выполнить аналитическую операцию.

Например, в способе Ньютона для нахождения нуля функции y=f(x) дается приближенное значение х₁ и вместо кривой используется прямая

которая касается графика функции в точке (x₁ у₁). Подставляя

у = 0, получаем значение х, являющееся корнем этой новой функции,

Это новое значение х₁ используется как следующее приближенное значение корня.

Поскольку с многочленами легко обращаться, большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами. Однако для многих целей предпочитаются другие классы функций.

Выбрав узлы и класс приближающих функций, необходимо выбрать одну определенную функцию из этого класса посредством некоторого критерия — некоторой меры приближения или «согласия».

Самый широко применяемый критерий состоит в требовании того, чтобы приближающая функция совпадала с заданными значениями в узловых точках. Другой более общий критерий — «наименьшие квадраты» — означает, что «сумма квадратов отклонений между данными узлами и приближающей функцией в узловых точках должна быть минимальной». Однако иногда применяются и другие критерии.

Прежде чем начать вычисления, необходимо решить также, какую точность надо иметь в ответе, и какой критерий будет избран для измерения этой точности. Все изложенное можно сформулировать в виде четырех вопросов:

Какие узлы будут использованы?

Какой класс приближающих функций будет использован?

Какой критерий согласия будет применен?

Какую точность нужно получить?