1. Тематика практических занятий и текущая самостоятельная работа

Практическое занятие №1. Элементы комбинаторики. Операции над событиями. Определение вероятности события.

Самостоятельная работа: выполнение задания №1 расчетно– графической работы; решение задач из [4] № 1.3, 1.9, 1.11, 1.14, 1.19, 2.1, 2.3, 2.5, 3.2, 3.8, 3.13, 3.14.

Практическое занятие №2. Правило сложения вероятностей. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Самостоятельная работа: выполнение задания №1 расчетно–

графической работы; решение задач из [4] № 4.1, 4.3, 4.4, 4.6, 4.8, 5.1, 5.2, 5.3, 5.8.

Практическое занятие №3. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Самостоятельная работа: выполнение задания №2 расчетно–

графической работы; решение задач из [4] № 6.1, 6.2, 6.5, 7.1, 7.3, 7.5, 11.2, 11.8, 15.3, 15.4,15.5.

Практическое занятие №4. Контрольная работа по теме «Случайные события».

Практическое занятие №5. Дискретные случайные величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий.

Самостоятельная работа: выполнение задания №3 расчетно–

графической работы; решение задач из [4] № 8.1, 8.5, 8.6, 8.8, 10.2, 10., 10.5, 11.1, 11.4, 11.5, 11.7.

Практическое занятие №6. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики одномерной случайной величины.

Самостоятельная работа: решение задач из [4] № 9.2, 9.3, 9.5, 9.7.

Практическое занятие №7. Равномерное, показательное и нормальное распределения.

Самостоятельная работа: выполнение задания №4 расчетно –

графической работы; решение задач из [4] № 12.1, 12.2, 12.3, 13.2, 13.3, 13.4, 13.5, 14.1, 14.4, 14.6.

Практическое занятие №8. Двумерные случайные величины.

Самостоятельная работа: решение задач из [4] № 16.1, 16.3, 16.4, 16.5, 16.13.

Практическое занятие №9. Контрольная работа по теме «Случайные величины».

Практическое занятие №10. Статистические оценки генеральной средней и доли. Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

Самостоятельная работа: решение задач из [4] № 19.1, 19.2, 19.4.

Практическое занятие №11. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о законе распределения.

Самостоятельная работа: решение задач из [5] № 10.15, 10.27, 10.33.

Практическое занятие №12. Подготовка к экзамену и зачёту.

2. Расчетно-графическая работа

ЗАДАНИЕ 1

Вариант 1.

Брошено три монеты. Найти вероятности событий:

А- выпадение герба на первой монете,

В - выпадение ровно двух гербов. Зависимы ли события А и В ?

Вариант 2.

В первой урне 2 белых и 3 черных шара. Во второй урне 3 белых.

Из каждой удалили по одному, наугад взятому шару, а оставшиеся шары поместили в третью урну (пустую). Какова вероятность события А - шар наугад взятый из 3-й урны белый?

Вариант 3.

Из 20 лотерейных билетов 4 выигрышных. Три человека по очереди будут по одному билету. Найти вероятности событий:

А₁ - первый возьмет выигрышный,

А₂ - второй возьмет выигрышный.

Вариант 4.

В первой урне 1 белый и 4 черных шара, во второй - 1 белый и 2 черных. В первую урну добавили один шар, наугад взятый из второй урны. После этого из 1-й урны наугад извлекли 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар белый:

Вариант 5.

Игральная кость брошена 2 раза.

Х₁ - количество очков при первом бросании,

Х₂ - количество очков при втором бросании.

События: А={Х₁ делится на 2},

В={Х₂ делится на 2}.

Найти вероятность произведения АВ. Зависимы ли события А и В?

Вариант6.

Из урны, содержащей 2 белых и 2 черных шара извлекают по одному без возвращения все шары. Найти вероятности событий:

1) третий шар белый,

2) третий и четвертый шары белые,

3) четвертый - белый, при условии, что третий был белым.

Вариант 7.

В первой урне 1 белый и 2 черных шара, во второй - 2 белых и 3 черных. Из первой и второй урн взяли наугад по одному шару и поместили в третью (пустую) урну. Какова вероятность того, что взятый наугад из 3-й урны шар окажется белым?

Вариант 8.

Игральная кость брошена два раза.

Х₁ - количество очков при первом бросании,

Х₂- количество очков при втором бросании.

События: А={Х₁ делится на 2}

В={Х₂ делится на 3}.

Найти вероятности: Р(А), Р(В), Р(АВ). Зависимы ли события А и В?

Вариант 9.

Из пяти карточек с номерами: 1,2,3,4,5 наугад извлекают одну, регистрируют ее номер Х, а карточку возвращают в общую совокупность. После этого вторично извлекают наугад карточку и регистрируют ее номер Y. Какова вероятность того, что хотя бы одно из чисел: Х, Y равно 3, если Х+Y - четное число?

Вариант 10.

Брошены две игральные кости.

События: А={число очков на 1-й кости делится на 2}

В={ сумма очков, выпавших на 1-й и 2-й костях делится на 4}

Зависимы ли события А и В?

Найти вероятности: Р(А), Р(В), Р(АВ), Р(В/А), Р(А/В).

Вариант 11.

Из ящика, содержащего три билета с номерами: 1,2,3 извлекают по одному все билеты. Предполагая, что все последовательности номеров билетов имеют одинаковые вероятности. Найти вероятность того, что хотя бы у одного билета порядковый номер совпадет с его собственным номером.

Вариант 12.

Имеется 5 урн с шарами. В 1-й, 2-й и 3-й содержатся по 2 белых и по одному черному, а в 4-й и 5-й - по одному белому и одному черному. Наугад выбирается одна урна и из нее берут наугад один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Вариант 13.

Игральная кость брошена 2 раза.

Х₁ и Х₂ - количество очков, выпавших при первом и втором бросании

События: А={Х₁ делится на 2, Х₂ делится на 4}

В={Х₁ делится на 3}.

Зависимы ли события А и В?

Вариант14.

В первой урне находилось 2 белых и 3 черных шара, во второй урне - 3 белых и 2 черных. Из первой урны во вторую переложили один шар. После этого извлекли наугад один шар из второй урны. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Вариант 15.

Игральная кость брошена 2 раза. Пусть Х₁ и Х₂ - количества очков, выпавших на верхних гранях. Рассмотрим события:

А={6Х₁ + Х₂  8}, В={Х₁ - четное число}.

Зависимы ли события А и В?

Вариант 16.

В первой урне содержатся 4 белых и 2 черных шара, во второй - 2 белых и 4 черных. Из второй урны переложили в первую урну один шар, а затем взяли из 1-й урны наугад 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар черный?

Вариант 17.

Игральная кость брошена 2 раза.

Х₁ и Х₂ - количества очков, выпавших на верхних гранях.

События: А={-2Х₁ - Х₂ 2},

В={Х₁ = Х₂} .

Зависимы ли события А и В?

Найти вероятности: Р(А), Р(В), Р(АВ), Р(В/А).

Вариант 18.

Брошены две игральные кости.

Х₁ - количество очков, выпавших на 1-й кости,

Х₂ - количество очков, выпавших на 2-й кости.

События: А={Х₁ делится на 3},

В={Х₁ +Х₂ 10}.

Зависимы ли события А и В?

Найти вероятности: Р(А), Р(В), Р(АВ), Р(А/В).

Вариант 19.

Из урны, содержащей два белых и два черных шара извлекли один шар наугад, а затем добавили два белых и один черный. Какова вероятность того, что извлеченные после этого два шара окажутся оба белыми?

Вариант 20.

Из урны, содержащей два белых и один черный шар, извлекают по одному все шары. Какова вероятность того, что третий шар окажется белым?

Вариант 21.

Из урны, содержащей 3 шара с номерами: 1,2,12 извлекают наугад один шар.

А_к - {на извлеченном шаре содержится цифра к} (к=1,2) Зависимы ли события А₁, А₂?

Вариант 22.

Из урны, содержащей два белых и три черных шара наугад извлекли два шара, а затем добавили один черный шар. Какова вероятность того, что извлеченный после этого наугад шар окажется белым?

Вариант 23.

Из урны, содержащей 2 белых и 4 черных шара удалили два наугад, а затем извлекли 3-й шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Вариант 24.

В первой урне 4 белых и 2 черных шара, во второй 2 белых и 4 черных. Из первой урны переложили во вторую один шар. После этого из второй урны извлекли один шар. Какова вероятность того, что шар, взятый из 2-й урны черный?

Вариант 25.

Имеются 3 урны с шарами:

В 1-й и 2-й по 2 белых и 3 черных шара,

В 3-й урне белых шаров столько же, сколько и черных.

Найти вероятность того, что извлеченный из наугад взятой урны шар окажется белым.

Шар оказался черным. Какова вероятность того, что он извлечен из 3-й урны?

Вариант 26.

В ящике имеются 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Три шара имеют метку, в том числе 2 белых. Наугад извлекают один шар.

Зависимы ли события: А - шар имеет метку, В - шар белый? Найти вероятность того, что шар белый при условии, что он имеет метку.

Вариант 27.

Наугад извлекают 1 шар из ящика, содержащего 15 шаров, причем, 6 из них белых; 5 шаров имеют метку, в том числе 2 белых имеют метку. Зависимы ли события: А - шар белого цвета, В - шар имеет метку? Найти вероятность события А при условии, что событие В произошло.

Вариант 28.

Из 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента берут по очереди по одному билету. Найти вероятности событий:

А - 1-й студент взял «хороший» билет,

В - 2-й студент взял «хороший» билет,

С - оба студента взяли «хорошие» билеты.

Вариант 29.

Брошены 2 игральные кости .

Х₁ - количество очков, выпавших на 1-й кости,

Х₂ - количество очков выпавших на 2-й кости.

События: А={Х₁ - четно и Х₂ - четно}

В={6Х₁+Х₂8}

Зависимы ли события А и В?

Найти вероятности: Р(А), Р(В), Р(В/А).

Вариант 30.

Из группы студентов наугад отбирают одного. В группе 20 студентов, из них 8 курящих, 5 носят очки, х студентов и курят и носят очки. При каком значении х события: А - студент курящий,

В - студент носит очки независимы?

Вариант 31.

В группе из 25 человек 15 юношей и 10 девушек. 7 из 25 старше 19 лет, в том числе 3 девушки. Наугад выбран один из группы.

Зависимы ли события А и В, где А - выбран юноша,

В - выбран человек старше 19 лет? Найти вероятность Р(В/А)

Вариант 32.

Игральная кость брошена два раза.

Х₁ - количество очков при первом бросании,

Х₂ - количество очков при втором бросании.

События: А={Х₁ +Х₂=7}

В={|X₁- Х₂ | =3}.

Зависимы ли события А и В?

Найти условные вероятности: Р(А/В), Р(В/А).