37

8.2 Косинус угла между векторами ar br = ar br cosϕ .

Отсюда

ar b

ax bx + ay by + az bz

cosϕ =

=

.

r

r

a

b

ax2 + a2y + az2

bx2 + by2

+ bz2

§ 9. Векторное произведение векторов

Определение. Векторным произведением вектора ar на вектор b на-

зывается вектор cr, который определяется следующим образом:

1)модуль вектора cr численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах a и b как на сторонах, т.е.

r

=

r

r

sinϕ ,

где

r

c

a

b

ϕ – угол между векторами a и b ;

2)вектор cr перпендикулярен обоим векторам a и b ;

3)направление вектора cr таково, что если смотреть из его конца, то кратчайший поворот от вектора a к

вектору b виден совершающимся против часовой стрелки (рис. 1.19).

Свойства векторного произведения векторов.

1)ar×br = −br×ar.

2)λ (ar×br )= (λ ar )×br = ar×(λ b ).

3)ar×(br + cr )= ar×br + ar×cr.

cr b ar

Рис. 1.19

4) ar×b = 0			ar = 0 ,		или	b = 0 ,	или a и b коллинеарны.
Пример 1.		Упростить			(2ar + 3b )×(3ar − b ).
Решение.	(2ar + 3br )×(3ar − b )= 2ar×3ar + 3b ×3ar − 2ar×br − 3br×br =
	r	r	r	r	r	r	r
	= 9b ×a		− 2a	×b = −9a		×b − 2a	×b = −11a ×b .

Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов

Пусть даны два вектора:									; b }.
ar = {a	x	; a	y	; a	z	}	и b = {b ; b	y
							x		z