62

§6. Преобразование системы координат на плоскости

6.1Параллельный перенос осей координат

y y′

Q P M

R N

O′(a; b) x′

O

A

B

x

Рис. 2.19

Таким образом,

x = a + x′,y = b + y′,

Совершим параллельный перенос СК: O → O′ (рис. 2.19). Рассмотрим произвольную точку плоскости M : ее координаты в новой СК будут другими. Найдем формулу, которая определяет новые координаты точки M в зависимости от старых.

x =

OB

=

OA

+

AB

=

OA

+

′

′

,

O N

= a + x

y =

OQ

=

OR

+

RQ

=

OR

+

′

′

.

O P

= b + y

(1)

x′ = x − a,

(2)

y′ = y −b.

Пример 1.

Дано уравнение линии y = 2x2 − 4x .

Получить уравнение этой линии после переноса O → O′(1; − 2 ) .

Решение.

y
				y′
O						1	2					x
											3
−1						1
				O′				1		2		x′
−3						−1

Рис. 2.20

Пример 2.

Дано уравнение линии

x = x′+1,	следовательно, подстав-
y = y′− 2,

ляя в данное уравнение, имеем:

y′− 2 = 2(x′+1)2 − 4(x′+1) ,

y′− 2 = 2x′2 + 4x′+ 2 − 4x′− 4 , y′− 2 = 2x′2 − 2 ,

y′ = 2x′2 (рис. 2.20).

y2 + x2 − 2x + 4 y − 2 = 0 .

Упростить уравнение этой кривой с помощью преобразования параллельного переноса осей координат.

Решение.

x = x′+ a,	Подставляя эти соотношения в данное уравнение, имеем:
y = y′+b.

63

( y′+b)2 + (x′+ a)2 − 2(x′+ a) + 4( y′+b) − 2 = 0 ,

y′2 + 2 y′b +b2 + x′2 + 2x′a + a2 − 2x′− 2a + 4 y′+ 4b − 2 = 0 , y′2 + x′2 + y′(2b + 4) + x′(2a − 2) + (b2 + a2 − 2a + 4b − 2) = 0 .

Выберем a и b так, чтобы

Тогда:

2b + 4 = 0,		a =1,	′	− 2 ) .
2a − 2 = 0,			Следовательно, O → O (1;
		b = −2.

y′2 + x′2 + (4 +1 − 2 −8 − 2) = 0 ,

y′2 + x′2 −7 = 0 ,

y′2 + x′2 = 7 – это окружность радиуса 7 с центром в точке O′(1; − 2 ) .

Преобразование параллельного переноса позволяет упростить уравнение кривой второго порядка за счет сокращения первых степеней переменных в новой системе координат.

6.2 Поворот осей координат на угол α

Рассмотрим ДСК на плоскости: совершим поворот осей координат на угол α против часовой стрелки (α > 0 – против часовой стрелки, α < 0 – по часовой стрелке) (рис. 2.21).

Рассмотрим произвольную точку плоскости M . Найдем соотношения

y

между старыми и новыми ее коор-

динатами:

y′

C

M

x =

OA

=

OB

−

AB

=

α

x′

=

OP

cosα −

RP

=

Q

=

OP

cosα −

PM

sin α =

R

P

= x′ cosα − y′ sin α ;

α

y =

OC

=

OQ

+

QC

=

O

A B

x

=

OQ

+

RM

=

PB

+

RM

=

Рис. 2.21

=

OP

sin α +

PM

cosα =

= x′ sinα + y′ cosα .

Таким образом, при повороте осей координат имеют место соотношения:

x = x′ cosα − y′ sin α,		(3)
	y = x′ sin α + y′ cosα.

Выразим новые координаты через старые. Для этого рассмотрим соотношения (3) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x′ и y′.

По методу Крамера имеем:

=

cosα

−sin α

=1;

sin α

cosα

x′

=

x

−sin α

= x cosα + y sin α ;

y

cosα

y′

=

cosα

x

= y cos

α − x sin α ;

sin α

y

x′

= x cosα + y sin α ,

y′

= y cosα − x sin α .

Таким образом, получаем

x′ = x cosα + y sin α,y′ = −x sin α + y cosα.

64

(4)

С помощью преобразования поворота осей координат уравнение второго порядка можно приводить к более простому виду, при этом удаляются члены, содержащие смешанное произведение xy .

Пример 3.

Дано уравнение линии 5x2 −6xy +5 y2 −32 = 0 . Упростить уравнение этой кривой.

Решение.

Совершим поворот осей координат на некоторый угол α против часовой стрелки:

x = x′ cosα − y′ sin α,y = x′ sin α + y′ cosα.

Подставим в данное уравнение:

5(x′ cosα − y′ sinα)2 −6(x′ cosα − y′ sinα)(x′ sinα + y′ cosα) +

+5(x′ sin α + y′ cosα)2 −32 = 0 ,

5x

′2

cos

2

′ ′

cosα sin α +5 y

′2

sin

2

α −6x

′2

cosα sinα +

α −10x y

+

′ ′

sin

2

′ ′

cos

2

α +

6 y

′2

cos

α sinα +5x

′2

sin

2

α +

6x y

α −6x y

+

′

′

cosα sin α +5 y

′2

cos

2

α −32 = 0 ,

10x y

5x

′2

+5y

′2

+ ( y

′2

− x

′2

)

6 cosα sinα

′ ′

(sin

2

α

−cos

2

α)

−32 = 0 .

+ x y

Выберем α таким образом, чтобы

sin 2 α −cos2 α = 0 .

Имеем:

sin2 α = cos2 α ,

tg2α =1,

tgα = ±1,

α = ±45o .

Заметим, что эти значения tgα соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому, взяв tgα =1 вместо tgα = −1, мы только меняем ролями оси X ′ и Y ′.