4 Определение устойчивости замкнутой системы

Для определения устойчивости замкнутой САУ, найдем ее передаточную функцию с помощью математического пакета MathCAD, скрипт которого представлен на рисунке 4.1:

Рисунок 4.1 – Скрипт MathCAD. Определение передаточной функции замкнутой системы

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

По критерию Найквиста определяем устойчивость разомкнутой системы, а по корням характеристического полинома устойчивость замкнутой системы.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы.

Построим диаграмму Найквиста с использованием функции nyquist системы программирования Matlab. Для этого возьмем передаточную функцию разомкнутой САУ:

Передаточная функция замкнутой САУ:

Запишем скрипт Matlab с переменными num и den для разомкнутой САУ и numz и denz для замкнутой САУ соответственно:

>> num=[-1500 -2375 -435 -16]; den=[50000 30000 6500 600 20 0 0];numz=[100 20 1]; denz=[50000 9500 12125 2185 80];

>> sys=tf(num, den);

>> roots(den)

ans =

0

0

-0.2000

-0.2000

-0.1000

-0.1000

>> roots(denz)

ans =

-0.0021 + 0.4847i

-0.0021 - 0.4847i

-0.1357

-0.0502

>> nyquist(sys); grid

Команда roots(den) возвращает значения корней разомкнутой САУ, а команда roots(denz) определяет значения корней замкнутой САУ. Как видим, все корни замкнутой САУ имеют отрицательные вещественные части, а значит, система устойчива.

На рис. 4.2 приведена диаграмма Найквиста, которая, как видим, не охватывает точку (-1; j0) комплексной плоскости. Это позволяет говорить об устойчивости замкнутой САУ без нахождения корней характеристического уравнения.

Поскольку функция nyquist применена без указания параметров, то диаграмма строится автоматически для всего диапазона регулирования частоты ω  (–; +) и полный годограф Найквиста симметричен относительно действительной оси.[3]

Рисунок 4.2 – Годограф Найквиста разомкнутой САУ

По критерию Гурвица, для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n главных диагональных миноров определителя Гурвица были положительны, при условии . Эти миноры называются определителями Гурвица.

Характеристическое уравнение определителя [1,c.24]:

Уравнение в общем виде [1,c.24]:

После преобразования получим выражение:

Для уравнения третьего порядка, кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия [1,c.24]:

Выполним проверку на устойчивость в пакете MathCAD. Скрипт программы представлен на рисунке 4.3.

Рисунок 4.3 – Матрицы коэффициентов и проверка условий

Все определители положительные при положительном коэффициенте , следовательно, замкнутая система устойчива.

Вывод

В процессе выполнения курсовой работы была исследована система автоматического управления в математическом пакете Matlab и последующие проверки в пакете MathCAD. Т.к. графики переходных процессов h(t) совпали как для замкнутой, так и для разомкнутой систем, то упрощение исходной схемы было выполнено верно.

По полученным результатам были сделаны выводы. Разомкнутая система устойчива:

а) система является устойчивой, т.к. не охватывает точку (-1; j0) комплексной плоскости на диаграмме Найквиста.

б) разомкнутая система имеет отрицательные действительные корни. Т.к. отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения является условием устойчивости, то разомкнутая система является устойчивой.

в) На участке частот, при которых асимптотическая ЛАЧХ положительная, ЛФЧХ не пересекает линии – 180. Поэтому разомкнутая система устойчива.

Замкнутая система устойчива:

а) Т.к. по результатам исследования годографа Найквиста разомкнутая система устойчива, то и замкнутая система устойчива.

б) определитель, найденный по критерию Гурвица, положительный при положительном коэффициенте а₀.

в) система имеет корня комплексные сопряжённые с отрицательной вещественной частью. Т.к. вещественные корни отрицательны, то система устойчива.