Операційне числення. ТР

4.12.	y,, 2 y,	sin 3t 5t,
	y 0 2,	y, 0 1.
4.13.	y,, y 4sin t 5cos 2t,
	y 0 1, y, 0 2.
4.14.	y,, 4 y 3sin t 10 cos 3t,
	y 0 2, y, 0 3.
4.15.	y,, y, 6 y 2 e3t ,
	y 0 1,	y, 0 2.

11
4.27.	y,, 2 y,	5y t e2t ,
	y 0 2, y, 0 1.
4.28.	y,, 5y,	3t et ,
	y 0 3,	y, 0 1.

4.29.y,, 9 y 2e3t 7, y 0 2, y, 0 2.

4.30.y,, y, 2 y cos t 2et ,0 2, y, 0 2.y

Розв’язання задачи

а) Розв’язати задачу Коши операційним методом

y" y' 6y t e2t ,

y(0) 0, y' 0 1.

Нехай : y(t) Y ( p) ,

тоді

y' pY( p)

y(0) pY( p) ,

y" p2Y ( p) p y(0) y' (0) p2Y ( p) 1.

Тоді:

y'' y' 6 y p2Y ( p)

1

pY( p) 6Y ( p) 4 Y ( p)( p2 p 6) 1

1

1

Найдемо зображення функції t e2t

p

2

p

2

2

1

1

p2

p 2

Y ( p)( p

p 6) 1

p2

p 2

p2 p 2

p2 p 2

p2

p 2 p3 2 p2

p3 p2 p 2

Y ( p)( p 2)( p 3)

1

p2 p 2

p2 p 2

p2 p 2

Y ( p)

p3 p2 p 2

.

p2 p 2 ( p 2)( p 3

Розвинення раціональної функції Y ( p) на прості дроби має вигляд:

Y ( p)

A1

A2

A3

A4

A5

p

p 3

p2

p p 2

2

1

1

1

1

19

Y ( p)

.

36 p

6 p2

4( p 2)

5( p 2)

45( p 3)

Тому:

y(t)

1

t

e2t

e 2t

19e3t

.

36

6

4

5

45

2.Розв’язати операційним методом систему рівнянь при даних початкових умовах

x' 2x 2 y,
5.1. y ' 2x y,
x 0 2,	y 0 1.

x' x y,

5.2.y ' 2 3y,

x 0 4,

y 0 3.

x' 3x y,

5.3.y' 7x 3y,

x 0 2,

y 0 1.

x' x 2 y,

5.4.y ' 3x 2 y,

x 0 1,

y 0 2.

x' 2x 6 y,

5.5.y ' 3x 4 y,

x 0 2,

y 0 3.

x' 5x y,

5.6.y ' 3x y,

x 0 3,	y 0 0.
x' 2x 6 y,
5.7. y ' x 3,
x 0 2,	y 0 3.

x' x 2 y,

5.8.y ' 8x y,

x 0 4,

y 0 2.

x' 3x y,

5.9.y ' x 5y,

x 0 1,	y 0 0.
x' x 3y,
5.10. y ' x y,
x 0 1,		y 0 2.
x' x 3y,
5.11. y ' x y,
x 0 1,		y 0 2.

x' 2x 5y,

5.12.y ' 4x y,

x 0 1,

y 0 1.

x' 2x 5y,

5.13.y ' 4x 10 y,

x 0 2,

y 0 2.

12

4x 5y,

5.16.y' x 2 y, x 0 y 0 1.

x' x 4 y,

5.17.y ' 2x 5y,x'

x 0 3,

y 0 2.

x' x 4 y,

5.18.y ' x 6 y,

x 0 3,	y 0 2.
x' 2x 7 y,
5.19. y' x 4 y,
x 0 2,	y 0 1.

x' 2x y,

5.20.y ' 5x 6 y,

x 0 0,

y 0 6.

x' 2x 8y,

5.21.y ' 2x 6 y,

x 0 1,

y 0 1.

x' 6x 5y,

5.22.y ' x 2 y,

x 0 6,	y 0 0.
x' 3x 5y,
5.23. y' x y,
x 0 2,	y 0 1.

x' 2x 5y,

5.24.y' 7x 10 y,

x 0 3,

y 0 5.

x' 8x 3y,

5.25.y ' 3x 2 y,

x 0 4,

y 0 4.

x' 5x 2 y,

5.26.y ' 4x y,

x 0 2,

y 0 3.

x' 9x 5y,

5.27.y' 7x 3y,

x 0 1,

y 0 1.

x' 3x 7 y,

5.28.y' 5x 9 y,

x 0 1,

y 0 1.

		13
x' x y,		x'	x 4 y,
5.14. y ' 5x 3y,		5.29. y ' 4x y,
x 0 1,	y 0 2.	x 0 y 0 2.
x' 5x 8y,		x'	10x 4 y,
5.15. y ' 9x 13y,		5.30. y '	5x 2 y,
x 0 y 0 3.		x 0 1,		y 0 0.

Розв’язати операційним методом систему рівнянь при даних початкових умовах

x' x y,y' 2x y,

x 0 1, y 0 3.

Перейдемо до зображень

x(t) X ( p) ,		y(t) Y ( p) ,
x' (t) pX ( p) 1, y' (t) pY( p)
	Отримаємо систему рівнянь:
	( p 1) X ( p) Y ( p) 1

2X ( p) ( p 1)Y ( p) 0

Розв’язавши її , одержимо:

		p 1									p				1
X ( p)																		cost sin t
		p		2					p	2	1			p	2	1
					1
				2
Y ( p)							2sin t .
		p	2		1

Отже, розв’язок задачі Коші:

x(t) cost sin t , y(t) 2sin t .