Ряды - Мазур Н.А. - 2003

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ	Типовий розрахунок опрацьовано Мазур Неонілою Антонів-
	ною - приват-доцентом кафедри „Вища та прикладна математи-
	ка” Одеського національного морського університету та Звєко-
	вою Ніною Петрівною – асистентом тієї ж кафедри.
Кафедра „Вища та прикладна математика”	Типовий розрахунок схвалено кафедрою „Вища та приклад-
	на математика” ОНМУ 20 жовтня 2003 р. (протокол №3).
	Рецензент: канд. фіз.-мат. наук доцент В.М.Дреков.

Р Я Д И

Типовий розрахунок

Одеса – 2003

					3
Задача 1. Дослідити на збіжність числові ряди
		5	n				n 1	n
1.	а)			;	б)				;
	n 1 n		5		n 1		2n

в)

2.а)

в)

3.а)

в)

4.а)

в)

1 sin n2

;

3n 3

8

n 1

n 2

;

n 1

2 n

1

;

(3n 1)2

16

n 1

5 n

;

( 2n 1)!

n 1

ln n

;

n3 n 4

n 1

n!

;

7 2n

n 1

2n

1

n 2

;

n

7

n 1

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

n 2

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

		1						;
	( n 1) ln n
		1			2n		1
									;
1			n				9n
1
	e n		;
	n 2

		2n 3			n
							;
		5n 1
		1	;
	n ln 2n
		n 3						;
	( n 4)2
					( 2n 1)
		1				;
	n ln 3 2n
3

4

4n 5

5.

а)

;

n 1

2n

n

1

n 2

1

в)

;

n

5n

n 1

3

n

5

6.

а)

n

;

2

n 1

1

1

n

в)

;

2n

4

n 1

n!

7.

а)

;

n 5

n 1

sin

2 n

3

в)

;

n

n 1

n 1

n 2

8.

а)

;

3n 1

n 1

в)

arcsinn

;

4n

n 1

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

1

;

3 n

n 1

n

2 n

cos

4

;

3n 5

n 1

n

3n

;

5n 6

n 1

1

2

n

;

n 2

n 1

1

;

n ln 4 3n

n 1

n 1

n3

;

n 1

3n 1

2n 3

;

(3n 2) ( n 3

4)

n 1

5

n

;

n

n 1

9.а)

в)

10.а)

в)

11.а)

в)

12.а)

в)

2 n

cos

5

;

n 1

n 3 6

n 7

;

( 2n 3)!

n 1

n!

;

3 n

n 1

2 cos n

;

n 1

n5 3n

6 n ( n 2 7 )

;

( 2n

3)!

n 1

3

n 1

n3 4n 2

n 1

n 3 5

;

(3n

2)!

n 1

1

;

(3n 2)2

n 1

5

б)

г)

б)

г)

б)

;г)

б)

г)

1

n

n 2

;

4n

n 1

n

1

1

;

n ln 2

4n

n 1

2

2n

sin

;

2n

n 1

1

4

n

;

n 2

n 1

1

;

3n ln 4 2n

n 1

n

n

1

3

;

5n

n 1

n

1

n 2

1

;

n

5n

n 1

			n 1
				;
		( n2	4) ln n
	n 2

6

3 n 1

13.

а)

;

б)

7 n ( n2 4)

n 1

1

в)

;

г)

(3n 4)3

n 1

cos2

14.

а)

n

;

б)

n 1

( 2n 3)!

3n 2

г)

в)

;

(3n 1)2 6

n 1

15.

а)

( 2n)! sin

;

б)

3n

n 1

3

n 4

в)

;

г)

3n 3 6n

n 1

7

16. а) n 1

в) n 4

3n n 2 5			;
				б)
( n 2)!

1

4n ln 5 n ; г)

2

arctg 2n

;

3n

n 1

1

;

1

n 1

n2 e n

n

3n

1

4

;

4n

2

n 1

1

;

n

n 5

n ln

4

n 1

2n

;

n

n 2

4

5

n

;

n 2

n 1

1

1

3

n

;

2

1

n

n 1

1

;

ln ( n

3)

n 1

17.а)

в)

18.а)

в)

19.а)

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

7

n 3 n

4n 2 6 ;

n 3

;

3n 3 6n 2

2n 3

3 n 3 n ;

n 7

2n5 3n 4

;

( n 2)!

5n ( 2n 1)

;

			1		n 1	n5
	в)						;
			4n		n
		n 1

			4n	2
	20. а)					;
		n 1	( n)!
						n
	в)						;
			( n2		1) ln 7 n
		n 2

1

2

3n

б)

1

;

2n

n

n 1

1

7

n

г)

;

3n 2

n 1

б)

tg 2n n ;

n 1

ln

3

2n

г)

;

n

n 1

5n 3

б)

;

1 4n5

n 1

7

г)

;

1

n 1

n 2 2 n

3

n

б)

;

( 2n 1)n

n 1

4n 7

г)

;

3

n 1

n5 6n

8

3 n tg

21.

а)

;

2n

1

n 1

7

в)

;

3n 2

5

n 1

e

2n 1

22.

а)

;

n!

n 1

1

в)

;

2n 1

n 1

1 sin

2 n

23.

а)

;

4 n

n 1

4n2

в)

;

n 1

(n2 1) (n 2)

n 5 4

24.

а)

;

( 2n 3)!

n 1

3

в)

;

2 5n

n 1

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

n 1

n 2

n 1

n 3

n 1

n 1

n 1

n 2

3n 1

n

1

;

4n 5

2n

4

;

n

ln 3 n

1

n2

1

;

n

	1			;
n ln n (ln ln n)2
			n
	n		2
			;
	3n 2
	1

e n

3n2 ;

e10n

( 2n 1)n ;

n 3

(n2 )3 ln n

;

9

25.а)

в)

26.а)

в)

27.а)

в)

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 2 sin

;

n

1

;

3

n (

n

n )

5 2n 1

;

6 n 3

n 1

;

3n (

n5 1)

1

2n 5 ;

		2n 3		4n
				;
		3n 2

		3n ( n 3 4)
28. а)				;
			(3n 1)!
	n 1
			2n 2 3n 4
в)					;
			( n 4)2
	n 1

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

n 1

n 2

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 2

arctg

3n

;

n

n

;

( n2

3) ln 4 n

1

n3

1

;

n

1

;

n ln 5 2n

n 2 1

;

2n

1

2 n

;

2n2

( n sin

)n

;

n

1

;

n ln n (ln ln n)4

10

(3n 2)!

29.

а)

;

10n n 2

n 1

в)

sin

;

n 1

n

7

n

30.

а)

;

( 2n 1)!

n 1

2

1

в)

sin

;

n

n

n 1

б)

г)

б)

г)

n 1

n 1

n 1

n 2

	4n 1		;
	(2e)	n
		n 2
				;
	( n 3
			2) ln 3 n

arcsin3n ; 2n

1 . n (ln n) (ln ln n)

Задача 2. Дослідити на збіжність ряди з чергуванням знаків

1. а) n 1

в) n 1

2. а) n 1

в) n 1

( 1)n n3

( 1)n 1( n2 4)

;

б)

;

4 n3

3

( 2 n 1)!

n 1

n 1

( 1)

n 2

( 1)n arcsin

1

;

г)

;

2 n 1

n

n 1

( 4)

n

( 1)

n 1

n

;

б)

;

n 3

( 2 n )!

n 1

5

n

( 1)n

;

г)

;

2

n 2

ln n

3.а)

в)

4.а)

в)

5.а)

в)

6.а)

в)

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 2

11

( 1)n ( n2 5)										;
							6n
			2		n 1
							;
			3
	( 3)n
								;
4n2							7
			4		3n
							;
			7

( 1)n (2n 3)2

(3n 1)!

;

( 1)n 1

(n 2) ln (n 2) ;

( 1)n 1 3n 2

( 2 n 3)!

;

( 1)n 1

n ln 5 n

;

( 1)n 1 n

n

б)

;

n2 2n 3

n 1

( 1)n n arcsin

г)

;

n 1

n

( 1)n 1

n5

б)

;

3n

8

n 1

( 1)n 1

г)

;

n 1

ln (n 2)

( 1)n (2

n3 5)

б)

;

3n2 4

n 1

( 1)n 1(n 1)

г)

;

n

n 1

( 1)n 1 (2n 5)

б)

;

n3 4n 2

n 1

( 1)n ( n

2 1)

г)

;

3n

2

n 1

	7.
	а)
		n 1
	в)
		n 1
	8. а)
		n 1
	в)
		n 1

12

3

n

1

1

;

n

( 1)n 1 3

n

;

n (3n 8)

( 1)n 1 3n 2

(3n )!

;

( 1)n 1

ln (n 2) ;

( 2)n

9.

а)

;

32n

n 1

( 1)n 1 (n 5)

в)

;

3 n ( 2n 3)

n 1

( 1)n 1

10.

а)

;

3n 1

n 1

( 1)n 1 (n 5)

в)

;

3 4n2 7

n 1

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

						n
				1		2
						;
	n 1			7

( 1)n 1

;

ln (n 1)

n 1

n 1

2n 1

( 1)

;

3n

1

n 1

( 1)n 5

n

;

3n 2

n 1

( 1)n ( n3 5)

;

n ( 2 n2

3)

n 1

( 1)n 1 sin

;

3n

n 1

( 1)n (2n 5)

;

n (3n 2)

n 1

( 1)n 1

;

ln (n 2)

n 1

13

11.а)

в)

12.а)

в)

13.а)

в)

14.а)

в)

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 2

n 1

n 2

( 1)n

(n 1) ln (n 1) ;

( 1)n 1 sin n ;

( 1)n 1 5n 2 ;

1

( 1)n 1 3n

n2

;

( 1)n 1 8n 5n 2 ;

( 1)n

n ln 3 n

;

( 1)n 1 3n

7n

;

( 1)n 1

ln n

;

( 1)n

б)

;

2n4 3

n 1

( 1)n 1 (n3 5)

г)

;

3 n ( 2n 3)

n 1

( 4)n

б)

;

3n2

2

n 1

n 2

г)

( 1)n

;

3

5

n 1

n

3

( 1)n

2n 3

б)

;

3n 1

n 1

( 1)n n!

г)

;

(3n 1)2

n 1

( 1)

n

2n

5

3

б)

;

3n 1

n 1

( 1)

n

г)

;

n

n 1

n e

15.а)

в)

16.а)

в)

17.а)

в)

18.а)

в)

		( 3)n
			;
		2n 2
	n 1
		( 1)n tg
					;
				2n
	n 1

( 1)n (0.24)2n

n 1

	( 1)n (5n 3)
	2n2 4
n 1
	( 1)n 1
			;
	23n
n 1
	( 4)n
				;
	( 2n 1)!
n 1
	( 1)n 2n
						;
	5n
n 1
	( 1)n (3n 1)

n 1	( 2n 5)!

14

;

;

;

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

n 1

n 1

n 1

n 1

n 4

n 2

n 0

n 4

		( 1)n				;
	(n	1) ln 7 (n 1)
	( 1)n
			n 3		;
	( 2n 1)!

( 1)n 1 sin 2 n ;

( 1)n ( n3 5) ; 2n3 3

( 1)n 1

(n 1) 3 ln (n 1) ;

( 1)n 1(n3 1) ;

7n 1

( 1)n 1

(n 2) 4 ln (n 2) ;

( 1)n 1(n5 1) ; 3n 1

15

( 1)n

19.

а)

;

n 1

5n 4

( 1)n 1

в)

;

n 1

ln (n 4)

( 1)n (3n 4)

20.

а)

;

6n

n 1

( 1)n (3n 2)

в)

;

4n

5

n 1

( 1)n

21.

а)

;

n 1

3n n!

( 1)n (n

2 2)

в)

;

n3 4n 3

n 1

( 1)n n!

22.

а)

;

3n

n 1

( 1)n sin

в)

;

n

n 1

( 3)n 1

б)

;

4n 2

n 1

( 1)n (3n 1)

г)

;

4n 5n2

2

n 1

( 1)n 1

б)

;

7

n 2

n 4

n

г)

n sin

;

n 1

n

( 1)n 1 (5n 1)

б)

;

7n

n 2

n 1

n 1

2n 1

n

( 1)

г)

;

n 1

2n

( 1)n 1 (5n 1)

б)

;

4n 3

n 5

n 1

( 1)n

г)

;

n4 5n

3

n 1

16

( 1)n (2n 5)

23.

а)

;

( n

3)!

n 1

1

2n

в)

;

n 1

3

( 1)n 1 n3

24.

а)

;

en

n 1

1

( 1)n 1 2 n

в)

;

2n2

n 1

( 2)n 1

25.

а)

;

n 1

(3n 1)!

( 1)n 1 2n

в)

;

en

n 1

( 1)n 1 4n

26.

а)

;

(3n 2)!

n 1

( 1)n

в)

;

n 1

ln (3 n)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

( 1)n 1

(n 4) ln (n 4) ;

( 1)n (2n2 1) ; 5n2 3n 4

( 1)n n (2 n) ; 2n2 5n 3

( 1)n 1 5n

;

4 cos( 1n)

( 1)n 2n ; 7n 3

( 1)n n3 4 ; 3n2 n 2

( 1)n 1 7n 3 ;

( 1)n (n n2 ) ; 3n2 n 2

27.а)

в)

28.а)

в)

29.а)

в)

30.а)

в)

17

( 1)n 2n

;

7n 3

n 1

( 1)n arcsin

;

3n

n 1

( 1)n 1 2n

;

32n

n 1

2

3n

( 1)n 1

;

n 1

n

( 1)n 3n

;

5n 3

n 1

1

n3

( 1)n 1

;

n 1

n

( 5)n 1

;

32n

n 1

( 1)n n

;

2n 7

n 1

( 1)n 1

б)

;

(3 n) ln (3 n)

n 1

( 1)n 1 (n2 4)

г)

;

( n 2)!

n 1

( 1)n 3

n 3

б)

;

2 n 5n

3

n 1

( 1)n 1 (n2 4)

г)

;

n 2n2 n4

n 1

( 1)n 1 n

n

б)

;

2n2 4n

3

n 1

2n

1

2n

г)

( 1)n

;

n 1

3n

2

( 1)n 3 n2 3

б)

;

2 n 4n 1

n 1

( 1)n 1

г)

.

n 1

ln (3 n)

18

Задача 3. Довести збіжність і обчислити суму ряду з точністю

1. n 1

2. n 1

3. n 1

4. n 1

5. n 1

6. n 1

7. n 1

8. n 1

( 1)n
				,
	n!
		2	n
					,
		3
( 1)n
				,
	2n n!
		2	n
					,
		5

	cos n				,
	3n ( n 1)
	( 1)n			,
	( 2n 1)!
	sin (		n)
	2					,
		n3

( 1)n , ( 2n 1) n!

0,01.

0,1.

0,001.

0,01.

0,001.

0,0001 .

0,01.

0,001.

19

								( 1)n n		2
	9.												,
								3n
		n 1
								( 1)n 1
	10.											,
								( n 1)n
		n 1
								( 1)n
	11.													,
		n 1						n2 ( n 3)
								( 1)n
	12.																	,
								1 3 5		( 2n 1)
		n 1
								( 1)n n
	13.										,
								2n
		n 1
								( 1)n
	14.														,
		n 1						2 4 6 ( 2n)
					( 1)n 1 ( 2n 1)
	15.															,
								( 2n )! n!
		n 1
								( 1)n
	16.																		,
					( 2n 1)2					( 2n 1)2
		n 1
								( 1)n
	17.								,
		n 1						( 2n)!

0,1.

0,001.

0,01.

0,0001 .

0,1.

0,001.

0,001.

0,001.

0,001.

20

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

23. n 1

n 1

n 1

n 1

( 1)n n , 7n

( 1)n ( 2n 1) , ( 2 n )! n!

( 1)n
		,
(3n)!
( 1)n
		,
3n n!
( 1)n							,
n2 ( n				4)
sin (				n)
2								,
n3 ( n 1)
cos (n )						,
(n3 1)2

( 1)n , 1 n3

( 1)n n , (n3 1)2

0,001.

0,001.

0,001.

0,001.

0,01.

0,01.

0,001.

0,01.

0,001.