Статистичний ряд - Мазур

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра „Вища та прикладна математика”

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Методичні вказівки до практичних занять

Одеса – 2012

1

Методичні вказівки розроблені Семіренко Елеонорою Ігорівною –- старшим викладачем кафедри „Вища та прикладна математика” Одеського національного морського університету.

Методичні вказівки схвалено кафедрою „Вища та прикладна математика” ОНМУ 29.03.12 (протокол № 6).

Рецензент: ст. викл. каф. В та ПМ ОНМУ Мазур Н.А.

2

I. Вибірка. Статистичний ряд, полігон частот і гістограма. Функція розподілу.

Математична статистика досліджує висновки про випадкову величину, що вивчається, які можна зробити використовуючи дані випробувань.

Нехай вивчається випадкова величина з функцією розподілу F (x) (яка є невідомою). Набір значень 1, 2, , n випадкової величини ,

одержаних в результаті n випробувань, називається вибіркою об’єму n . Припускається, що випробування проводяться в однакових умовах і незалежно.

Тоді вибірку 1, 2, , n

можна розглядати як сукупність

n незалежних

випадкових величин

i (i 1,2, , n), кожна з яких розглядається також, як

випадкова величина

, тобто P( i x) F(x),

i 1,2, ,n.

Говорять, що вибірка

1, 2, , n взята з генеральної сукупності

випадкової величини з теоретичною функцією розподілу

F (x) . Якщо

вибірка об’єму n має r різних елементів (значень)

x1, x2, , xr і елемент xi

зустрічається mi

разів, то число mi називається частотою елемента xi , а

відношення w

mi

відносною частотою елемента x .

i

n

i

Очевидно

r

r

mi

n і

wi

1.

i 1

i 1

Статистичним рядом називається послідовність пар

(xi ,mi ), i 1,2, ,r . Як правило статистичний ряд записують у

вигляді таблиці, розташовуючи значення xi в порядку зростання.

xi

x1

x2

x3

xr 1

xr

mi

m1

m2

m3

mr 1

mr

Полігон частот вибірки – це ламана з вершинами в точках (xi , mi ). Полігон частот є графічним зображенням статистичного ряду.

3

Емпіричною функцією розподілу називається функція Fn (x) kn , де

k – число вибіркових значень, менших за x ( тобто Fn (x) є відносною частотою події x ). Функція Fn (x) служить оцінкою невідомої

(теоретичної) функції розподілу Fn (x), тобто Fn (x) ~ F(x).

Наведений запис вибірки у вигляді статистичного ряду і його зображення полігоном частот є зручним, якщо випадкова величина , яка

досліджується є дискретною, а число r різних вибіркових значень не дуже велике. В протилежному випадку таблиця стає не наглядною (трудно обозримой) ??? і використовується інтервальний статистичний ряд. При цьому весь діапазон вибіркових значень розбивають на інтервали (зазвичай однакової ширини) і в першому рядку таблиці вказують ці інтервали, а в другому – відповідні їм частоти, тобто кількість відповідних значень, які попали в ці інтервали. Для подальшої обробки вибіркових даних виявляється зручно завбачити рядок, в якому записуються середні значення інтервалів. Тоді цей рядок буде в таблиці другим, а рядок частот – третім. Якщо позначити кінці

i – того інтервалу відповідно xni і xbi , а середнє значення цього інтервалу

xi , то таблиця, що зображає (представляє? ) інтервальний статистичний ряд, матиме вигляд (кількість інтервалів позначено r ):

xn

; xb

xn

; xb

xn

; xb

xn

; xb

xn

; xb

xn

; xb

i

i

1

1

2

2

3

3

r 1

r 1

r

r

xi

x1

x2

x3

xr 1

xr

mi

m1

m2

m3

mr 1

mr

Питання про вибір числа

i ширини інтервалів вирішується в кожному

конкретному випадку, об’єм вибірки і т. д.

Для ориєнтаційної оцінки числа

інтервалів r

для об’єму вибірки n використовується формула Стерджера

r 1 3,32lg n

Якщо число інтервалів вибрано, то ширина кожного з них визначається за формулою

	h	xmax xmin	, де	h – ширина інтервала,
		r

4

xmax і xmin - найбільше і найменше вибіркові значення.

Знайдене значення h корегується (округляється) в бік збільшення і встановлюються границі інтервалів так, щоб одержати по можливості «зручні» значення границь і щоб всі вибіркові значення розташувались в межах цих інтервалів. Після цього записується (???????????????) інтервальний статистичний ряд.

Нехай – неперервна випадкова величина з невідомою щільністю

імовірності f (x). Тоді	f (x) ~	mi	(i 1,2, , r) є оцінкою щільності
		nh
ймовірності в точці xi	( xi – середина i –того інтервалу, mi –			частота,
тобто кількість вибіркових значень, які попали в i – тий інтервал,				h –
ширина інтервала, n –	об’єм вибірки). Побудуємо в прямокутній системі

координат прямокутники, основами яких є відрізки

5