Ряды - Мазур Н.А. - 2003

										21
			( 2)n
	27.							,		0,001.
			(n 1)n
		n 1
			( 1)n 1
	28.								,	0,0001 .
			( 2n )! 2n
		n 1
			( 1)n
	29.				,					0,001.
			(2 n)3
		n 1
			( 1)n 1
	30.							,		0,0001 .
			(3n 1)!
		n 1

Задача 4. Довести граничну рівність шляхом дослідження збіжності ряду з відповідним загальним членом

1.

lim

nn

0 .

2.

lim

(2n)n

0 .

(2n 1)!

n (2n)!

n

3.

lim

nn

0 .

4.

lim

n2

0 .

2

n (n!)

n n!

5.

lim

nn

0 .

6.

lim

(3n)n

0 .

(2n 1)!

n (2n

1)!

n

7.

lim

nn

0.

8.

lim

23n

0 .

n (n!)3

n

n!

22

9.lim

n

11.lim

n

13.lim

n

15.lim

n

17.lim

n

19.lim

n

21.lim

n

nn
(2n 1)! 0 .
nn	0 .
((2n 1)!)2

nn 0 .

(2n 3)!

		nn				0 .
((n 2)!)2
n!		0 .
nn
(n 1)!				0 .
	nn
(3n)!				0 .
2	(n2 )

23.	lim		(n 2)!			0.
				nn
	n
25.	lim		(4n)!		0 .
	n		2	(n2 )

10.	lim		(2n)n		0 .
	n (2n 1)!
12.	lim		nn	0 .
			2n2
	n

14.lim

n

16.lim

n

18.lim

n

20.lim

n

22.lim

n

24.lim

n

26.lim

n

(5n)n (2n 1)! 0 .

n2 1 0 .

(2n)!

(2n)! 0 . 2(n2 )!

(n 1)! 0 . nn

	n5
		0 .
	(2n)!
	(n 4)!		0.
	nn

n3 0 .

(4n )2

23

27.

lim

(n 3)!

0 .

28.

lim

(n 3)!

0 .

nn

nn

n

n

29.

lim

(5n)!

0 .

30.

lim

n5

0 .

(n2 )

(4n)!

n

2

n

Задача 5. Знайти область збіжності степеневого ряду

		(3x )n					2 n ( x 2)n
1.	а)				;	б)		;
							(5n 4)2
	n 1		5 n			n 1

2.а)

3.а)

4.а)

5.а)

6.а)

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

( x )n ; ( n 3)2 en

(2 n 1) xn

3n (5n3 4)

;

( 2 x )n ; 5 n

	n xn			;
	2n2
		5
	( 1)n			xn	;
			5n 9

б)

б)

б)

б)

б)

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

	( x 7)n
				;
	3n	2
	( x 5)n
			;
	3n2	4
	( x 3)n
					;
	2n3
		4n 1

	(x 4)n		;
	3n ( n 4)
	(x 5)n
				;
	2n ( n2	4)

24

7. а) n 1

8. а) n 1

	4n 1 xn
				;
1 3n n2
	n 2		2
			xn ;
	n

( x )n

9.

а)

;

n 1

4 n 1

( 4x )

n

10.

а)

;

3 2 n2

n 1

(5x )

n

11.

а)

;

n 1

3n 2

xn

12.

а)

;

(5n

4) n2

n 1

( 3)n xn

13.

а)

;

n 1

( n 2)!

n!

x

n

14.

а)

;

2n2

n 1

3 2

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

3n ( x 1)n ; (2 5n )3

( 1)n ( x 1)n ; 2n 9

( x 7)n ; (3n 2)!

( x 1)n ; 2 5n

( x 3)n ; (2 5n) (2n 3)

( x 1)n ; n 4n

( x 6)n ;

3 n3 2

( x 1)n ; n3 5

15.а)

16.а)

17.а)

18.а)

19.а)

20.а)

21.а)

22.а)

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

				25
n 3		x n
				;
n		5

( 1)n 1 xn ; ( n 2) 3n

(5n 3) xn ; (3n 1)!

nx n

; n 1 4

	x n		n3
				;
	4		(n 2)!

	xn						1		;
					sin
		n						n
			n xn						;
		2n2					7
			x n					n2
										;
			4			(n 1)!

n ( x 6)n

б)

;

3n2

7

n 1

( x 4)n

б)

;

n 1

(2n 3) (2n 1)

( x 4)n

б)

;

3n

5

n 1

( x 3)n

б)

;

2n 1

n 1

( 1)n

( x 4)n

б)

;

n 1

5n 9

( 1)n ( x 8)n

б)

;

n 1

3n 5

( x 1)n

б)

;

4n ( n

5)

n 1

( x 3)n

б)

;

5n ( n

2)

n 1

26

3

n 1

x

n

23

а)

;

n2 n!

n 1

(n 2) xn

24.

а)

;

n 1

3n2 4

2n xn

25.

а)

;

n 1

n ( n 3)

n xn

26.

а)

;

n 1

2n 1 (3n 1)

( n 3) (2x)n

27.

а)

;

( n

2)!

n 1

3n xn

28.

а)

;

n2

( n

2)

n 1

5

xn

n 4

29.

а)

;

n!

n 1

3n

xn

n 4

30.

а)

;

n 1

(2n)!

( x 3)n

б)

;

n ( n 1)

n 1

( x 2)n

б)

;

4n (3n 5)

n 1

( 1)n

( x 2)n

б)

;

n3 8

n 1

( x 4)n

б)

;

n 1

3 2n3 4

( x 4)n

б)

;

4 2n3 4n 1

n 1

( x 4)n

1

б)

sin

;

2

2

n 1

n

n

( x 5)n

1

б)

tg

;

n

n

n 1

( x 5)n n2

б)

.

n7 6n3

n 1

27

Задача 6. Розвинути в ряд Тейлора за степенями „ x ” функцію y f (x) і вказати область збіжності цього ряду

	y		x
1.					.
		3
			8 x

2. y 2x cos2 x x .

3.	y ln (1 2x 3x2 ) .
4.	y	1	.
		12 x x2

5.y 1 e x 2 .

6.y ln (1 x 6x2 ) .

	y				x3
7.							.
					2 3x
8.	y 2 e x 2 .
9.	y		1		sin 2x cos2x .
			x

16. y		x2
				.
		4 5x

17.	y	2x sin		2				x			x	.
								4			2
18.	y x sin		2 x						.
					2
19.	y	arctg x							1.
		x

20.y 1x (cos2x 1) .

21.y x 4 3x .

	y	x
22.				.
		3 4x
			2 x
23.	y arctg 3 .
						x
24.	y x2 arctg						.
						2

																		28
10.	y 2 e 3x 2 .																				25.							y x3 cos 3x .
11.	y sin 2x cos2x .																				26.							y ln (1 2x 8x2 ) .
12.	y e x 2 .																				27.							y sin 2					x	.
																																6
13.	y sin									x				x		cos	x	.			28.							y				1								.
										2				2			2														9 x2
	y				e			x		e			x			1.					29.							y				3											.
14.
																														1 x 2x2
										x
	y ln ( x2 3x 2) .																											y x2
15.																					30.											9 3x .
Задача 7. Обчислити наближено з точністю 0,001
																																					1
1.	arctg 0,4 .															2.		5 1,2 .												3.													.
																																3
																																							e
	cos 8 .																	3																sin 10 .
4.																5.					520				.					6.
	1																				1
7.								.								8.											.			9.		4 1,05 .
																		5
		4 e																			1,25
	cos 5 .
10.																11.					38 .									12.		3 228 .

13.4 19 .

16.cos 7 .

19.sin 15 .

	22.		1		.
			e3

25.ln1,15 .

28.cos 9 .

	29
14.	ln 1,18.	15.	3 10 .
17.	ln 1,08 .	18.	1								.
								e
20.	ln 1,2 .	21.	sin						1				.
									3
23.	cos2 8 .	24.	sin 2 4 .
	cos 0,5.		5
26.		27.					36							.
	sin 11 .
29.		30.	3 30 .

Задача 8. Обчислити визначений інтеграл, розвинувши підінтегральну функцію в степеневий ряд і проінтегрувати перші три його члени. Оцінити похибку результату.

	0,5		x 2			0,2	ln (1 x)
1.		e	dx .		2.				dx .
							x
	0					0
3.	0,4	sin x			4.	0,2	arctg x
				dx .				dx.
			x				x
	0					0

	0,5
5.	cos (2x2 ) dx .
	0

0,3

7.sin (2x) dx .

0

9.	0,1			1 e 4x
						x						dx .
	0
	0,4			1 e 2x
11.												dx.
						x
	0
	1				d x
13.											.
	0 3 8 x2
	0,3					x
15.
				sin				dx .
	0					5
	0,8					d x
17.											.
	0				4 16 x2

30

	0,3			3x
6.	e				dx .
	0
							x
	0,5 ln 1
8.							4
				x							dx .
	0
	0,2 arctg					x
						2
10.										dx.
				x
	0

0,4

12.cos (5x) dx .

	0
	0,5	5x
14.
		cos	2		dx .
	0
	0,2	ln (1 2x)
16.							dx .
		x
	0
	0,4 arctg			x
			5
18.						dx.
		x
	0

31

		1			d x
	19.							.
				3 8		x2
		0
		0,4				2x2
	21.			e		5 dx .
		0

dx

23. .0,5

0 5 32 x5

0,2

25.sin 35x dx .

	0
	0,2		3x 2
27.			8	dx .
		e
	0
	0,2	arctg 2x
29.						dx .
			x
	0

31

dx

20.4 16 .0 x 20,5

		0,6		x 2
	22.
				cos								dx .
		0				2
	24.	0,3		1 ln	1							x	dx .
				x								5
		0
		0,2 arctg					x
	26.				4							dx.
				x
		0
	28.	0,1		ln (1 4x)
				x									dx .
		0
		0,2							2
	30.			sin (4x							) dx .
		0

32

Задача 9. Знайти три перші, відмінні від нуля, члени розвинення в степеневий ряд розв’язку задачі Коші

1.

y 2cosx xy2 ,

y (0) 1.

2.

y

y cos x x ,

y (0) 1,

0 .

y (0)

3.

y xy y x ,

y (0) 0 ,

1.

y (0)

4.

y

2x

2

y 0 ,

y (0) 0 ,

1.

y (0)

5.

y x2 y y3,

y (0) 1.

6.

y 2xy 0 ,

y (0) 1.

7.

y

xy

1 y ,

y (0) 1,

1.

y (0)

8.

y

xy

y x ,

y (0) 1,

1.

y (0)

9.

xy y

0 ,

y (0) 1,

0 .

y (0)

10.

y x y2 ,

y (0) 1.

11.

y

(2x 1) y

2

1,

y (0) 0 ,

1.

y (0)

12.

y

yy

x

2

,

y (0) 1,

1.

y (0)

13.y x2 y ,

14.y xy y 1 ,

15.y x2 y 2xy 1,

16.y xy y x ,

17.y xy y x ,

18.y xy y 1,

19.y x2 y ,

20.y 2 y x 2 ,

21.y x2 y2 ,

22.y x2 y2 ,

23.y 2cos x x y ,

24.y xy 0 ,

25.y (1 x ) y2 ,

33												34
y (0) 1,		1.	26.	y x 2 y			2		1,			y (0) 0 .
	y (0)
y (0) 1,	y (0) 0 .		27.	y xy3 0 ,								y (0) 1.
y (0) 1,		0 .	28.	y 3sin x x						2	y ,	y (0) 1.
	y (0)
y (0) 1,		0 .	29.	y e	x	y	2	0			,	y (0) 1.
	y (0)
y (0) 0 ,		1.	30.	y y cosx y3 ,								y (0) 1.
	y (0)
y (0) 1,		1.
	y (0)
y (0) 2 .
y (0) 1.

y (0) 0,5 .

y (0) 1.

y (0) 0 .

y (0) 1,		1.
	y (0)

y (0) 1.

33