Т.Р . 1999 Вступ до аналізу. Похідна

	16. а) y(x) x2 arctgx;			x(t) cos 2t,
				б)
				y(t) t sin t
						2t
	17. а) y(x) ln sin 3x;			б) x(t) 1 e					,
				y(t) cos 2t
	18. а) y(x) (1 x2 )ln(1 x);			x(t) 1 sin2 2t,
				б)	y(t) cos			2	2t
				x(t) ln(2 t),
	19. а) y(x) 3 cos 4x;
				б)	y(t) t		4

20. а) y(x) (x2 1)ln(1 x);

21. а) y(x) x4e4 2 x ;

	y(x)	ln(x 3)	;
22. а)
		3 x
23. а) y(x) ln2 cos3x;
24. а)	y(x) arcsin(1 3x);

б)

б)

б)

б)

б)

x(t) arctg3t,
	y(t)	1	t4
		4

x(t) e3t ,

y(t) sin 3t 1

x(t) arctg2t,

y(t) ln(1 t ) 2

x(t) esin t ,

y(t) ln cos t

x(t) e 3t ,

y(t) 1 t 42

21

25. а)

26. а)

27. а)

28. а)

29. а)

30. а)

y(x) ex sin(1 2x);

y(x) x2arctg2x;

y(x) 13 x3tg3x;

y(x) 12 esin 2 x ;

y(x) 1 x2 arcsin x;

y(x) e1 x (2x 1)3;

б)

б)

б)

б)

б)

б)

x(t) arctgt,

y(t) ln sin t

x(t) 2t cos 2t,y(t) 4 cos2 t

x(t) 4t t 4 ,

y(t) 2t t 2

x(t) t cost,y(t) 1 4sin t

x(t) e2t ,

y(t) ln(2 t)

x(t) ln(1 2t ),y(t) (1 2t)2

Задача 5. Обчислити наближено значення y(x) , замінивши

приріст функції диференціалом.

y(x) ln x 2x;

1.

y(x)

x 4

x 2;

x 1,01

2.

x 1,05

y(x) 3

4x 4 x;

x 0,98

3.

4.

y(x) 1 2x sin x;

x 0,03

5.

y(x) arccos(x2 1);

x 1,02

6.

y(x) ctgx;

x 31

7.

y(x) e2x 4x2 ;

x 2,01

8.

y(x) 1

;

x 1,98

3x 10

9.

y(x) tg2x 1;

x 1

10. y(x) x2

ln x;

x 1,01

11.

y(x)

1

;

x 5,95

12. y(x) x arctgx;

x 3,05

9 2x2

22

13.

y(x) (3x 1)6;

x 0,98 14.

y(x) ln x arcsin(x2 1);

x 0,92

y(x) ctgx cos x;

15.

x 32

16.

y(x) 5 5x 1;

x 0,11

17.

y(x) ex2 4x 1;

x 2,1

18.

y(x) x arctg(x2 2);

x 4,02

19.

y(x) x

5 4x;

x 1,015 20.

y(x)

tgx x2 1;

x 0,01

21.

y(x) etgx 1;

x 47

22.

y(x) arcsin 2x ln(1 2x);

x 0,05

y(x) arctg(x2 1) x2;

23.

x 0,01

24.

y(x) x

2x 1;

x 4,95

y(x) tgx cos2 x;

25.

x 2

26.

y(x) lg x

x 1;

x 9,98

27.

y(x) e1 2 x

2

;

x 0,15

28.

y(x) arccos( x2 1);

x 4,01

2x

1

29.

y(x) (4 x2 )4 ;

x 1,03

30.

y(x) ex2 2 x 4;

x 3,02

Задача 6. Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до

графіка функції

y y(x) в точці з абсцисою

x x0 .

1 2.

y(x)

2

3x;

x0 2

1.

y(x) 2x 4

x 6;

x0

x2

3.

y(x)

x2 4

;

x

1

4.

y(x) x ln(2x 1);

x 0

2(x 1)

0

0

5.	y(x) x	2	sin x;	x0
					2

7.

y(x)

2x2 2

;

x0 1

x

9.

y(x)

3

2x x2 ;

x 1

x

0

3

11.

y(x)

1

x

;

x0 8

3

1

x

6.	y(x)	1 3x6					;			x0 1
		2 4x5
										x0 4
8.	y(x) 8 x 33 2x;
10.	y(x)	4x2 1				;				x0 1
		1 8x3
12.	y(x) 4x 2x3 x5;									x0 1

	x3 1		x0 2	1		1 3x x	4	;	x0 1
13. y(x)		;		14. y(x)
					x
	2x 1

23

15. y(x)

17. y(x)

19. y(x)

21. y(x)

23. y(x)

25. y(x)

27. y(x)

29. y(x)

		x2 1
					;
	2x2 3x 1
		2x
				;
		x 2

2x x33 ;

x cos 2x;

ln(1 x2 ) 2x;

x x 32x;

		x		;
		x 3

x2 ex cos x;

x0 1	16.	y(x)		5			;	x0		1
			3x 4							3
x0 2								x0 1
	18.	y(x) 6 3			x 3x2 ;

x0 1

20.

y(x)

x3

2x 1

;

x0

1

x3 1

x0

x0 1

22.

y(x) x2

x 1;

x0

2

24.

y(x) 1 2x 3x4 ;

x0

1

x0

4

26.

y(x) x sin 3x;

x0 0

x0

4

28.

y(x)

1 x2

;

x0

1

1 2x2

x0

0

30.

y(x) x tgx;

x0

4

Задача 7. Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до лінії

x x(t),	в точці t t0 .
y y(t)

x(t) 1 cost, 1. y(t) 1 sin t,

	x(t) t	2			1,
3.					1,
	y(t) t3
	x(t) e			2t		,
5.
	y(t) e t ,
				t t					,
	x(t) 1							2
7.						2,
	y(t) t		2
							2t
	x(t) 2 e							,
9.					,
	y(t) et

t0

2

t0 1

t0 0

t0 1

t0 0

	x(t) sin 2t 2,
2.
	y(t) cost,
	x(t) t			4		,
4.			1
	y(t)					t3		2,
		3
	x(t) t(1 cos t),
6.
	y(t) 1 sin t,
	x(t) e				2t		,
8.
	y(t) cost sin t,
	x(t)	1 t						2	,
10.
	y(t) 2t t 4 ,

t0

6

t0 3

t0 0

t0 0

t0 1

24

x(t) t ln(t 1),

11.

y(t) arctgt,

x(t) t12 (t4 t2 ),

13.

y(t) t12 (t4 t2 ),

x(t) 4sin t 1,

15.

y(t) 2cost t,

	t	4				t	2
x(t)								,
	2					4
17.	t2					t4
y(t)									,
	2					4
x(t) 3t			2		5,
19.				4,
y(t) t2

	x(t) 2(t sin t),
21.
	y(t) 2(1 cost),
	x(t) t	2	1,
23.			12t 1,
	y(t) t3
			3 cost,
	x(t) 2
25.
	y(t) 2sin t,

x(t) e 2t 1,

27.

y(t) e2t 1,

x(t) t 2 2,

y(t) t3 2t 2 t,

t0 0

t0 1

t0 0

t0 2

t0 3

t0

4

t0 1

t0

6

t0 0

t0 1

x(t) 2sin t 1,

12.

y(t) cos 2t 2,

x(t) 2sin t ,

14. 2

y(t) 3 cos t,

x(t) ln(1 t) 1 t,

16.

y(t) arctgt 2,

x(t) 1 e 2t ,

18.

y(t) 2 et ,

x(t) 2cost 3sin t,

20.

y(t) cost 2sin t,

x(t) t sin t,

22.

y(t) 1 cost,

x(t) 4cos3 t,

24.

y(t) 4sin3 t,

x(t) t2 1,

26.

y(t) 3 t2 ,

x(t) t 2 4,

28. y(t) 1 (t2 1),

2

x(t) arctgt 1,

y(t) arctgt t,

t0

4

t0

3

t0 0

t0 0

t0

2

t0

2

t0

4

t0 1

t0 1

t0 0

25