6. Течение вязкой жидкости по трубам. Формула Пуазейля.

Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медици ны особый интерес, так как кровеносная система состоит в основ ном из цилиндрических сосудов разного диаметра.

Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; примыкающий к трубе слой жидкости неподвижен.

Для определения зависимости ско рости слоев от их расстояния r от оси выделим мысленно цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса r и длины l . На торцах цилиндра поддерживаются давления р1 и р2 соответственно, что обусловливает результирующую силу

F=p1Пи r^2-p2Пи r^2 = (p1-p2) Пи r^2.

На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная:

Fтр=η (dv\dx) S= η (dv\dr) 2Пи rl

где S = 2πrl — площадь боковой поверхности цилиндра. Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выде ленный цилиндр, уравновешены: F = Fтр. Подставляя в это равен ство и получаем

(p1-p2)Пи r^2= - η (dv\dr) 2Пи rl

Знак «-» в правой части уравнения обусловлен тем, что dv/dr < 0 Ц(скорость уменьшается с увеличением г). Имеем

dv=- (p1-p2\2lη) rdr

Проинтегрируем это уравнение:

здесь нижние пределы соответствуют слою, «прилипшему» к внутренней поверхности трубы (v = 0 при r = R), а верхние пределы - переменные. После интегрирования получаем параболиче скую зависимость скорости слоев жидкости от расстояния их до оси трубы:

v=(p1-p2\4ln) (R^2-r^2)

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0):

Установим, от каких факторов зависит объем Q жидкости, про текающей через горизонтальную трубу за 1 с. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом г и толщиной dr. Площадь сече ния этого слоя dS = 2πrdr. Так как слой тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью и. За 1 с слой переносит объем жидкости

dQ=vdS=v*2Пи r d r

Зависимость объема жидкости Q, протекающей через горизон тальную трубу радиуса R за 1 с, определяется формулой Пуазей ля , где η — вязкость жидкости, р1- р2 — разность давле ний, поддерживаемая на торцах трубы длиной l.

Как видно, при заданных внешних условиях (р1 и р2) через трубу протекает тем больший объем жидкости, чем меньше ее вязкость и больше радиус трубы.

Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость η, длина l трубы и меньше площадь поперечного сечения. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позво ляет в некоторых случаях использовать правило нахождения элект рического сопротивления последовательного и параллельного соеди нений проводников для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб. Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех труб, со единенных последовательно и параллельно, вычисляется соответственно по формулам:

X=X1+X2+X3

X= (1\X1 + 1\X2 + 1\X3)^-1

Чтобы придать уравнению Пуазейля более общее выражение, справедливое и для труб переменного сечения, заменим (р1 - р2)/1 градиентом давления dp/dl, и тогда

Q=(ПиR^4\8n)(dp\dl)

Установим в разных местах горизонтальной цилиндрическойтрубы разного сечения, по которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки . Они показывают, что статическое давление вдоль трубы переменного сечения убывает пропорционально 1: dp/dl = const. Так как величина Q одинакова (несжимаемая жидкость), то градиент давления больше в трубах меньшего радиуса.