охт (6sem) / методички митхт / Математическое моделирование химико-технологических процессов (2010)

21

тельно меньше их!). Пусть в нашем примере это будут значения F = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 (пунктирные линии на рис. 3 и 4). Построим линию уровня F=0,3 . Для этого найдем координаты точек пересечения линии F=0,3 (выделенный пунктир на рисунках) с кривыми F(x1) и F(x2). Получили четыре точки пересечения с кривыми F(x1) и девять точек пересечения с кривыми F(x2). Определяем координаты этих точек (x1 и x2 для каждой), например, для первой точки пересечения на рис.2 x1=3,6 (на оси x1) и x2=383 (так как вся линия соответствует этому значению). Сведем эти координаты в небольшую таблицу и нанесем их на контурный график в координатах x1 – x2 (рис. 5).

F
0,50									x2=383
0,45
										x2=358
0,40
0,35
0,30										x2=408
0,25
										x2=333
0,20
0,15										x2=433
0,10
0,05
0,000	2	4	6	8	10 12	14	16	18	20	22 x1
				Рис. 3

0,55 F
0,50
0,45
0,40						x1=2
0,35
0,30						x1=6,5
0,25
0,20						x1=11
0,15
						x1=16,5
0,10						x1=20
0,05						x2
0,00	340	360	380	400	420
320						440
			Рис. 4

F=0.3

x1	3.6	4.9	9.0	17.8	340	346	355	367	396	406	410	419	428
x2	383	433	358	408	20.0	16.5	11.0	6.5	2.0	20.0	16.5	11.0	6.5

	x2													x2
	440													440								F=0,2
	420							F=0,3
														420	F=0,3
	400													400
	380													380					F=0,4
	360					F=0,3								360
	340													340		F=0,1
																							F=0,2		x1
													x	320
	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22			2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
													1	0											22
					Рис. 5																Рис.6

Полученные таким образом точки соединим линией, в нашем примере расположение точек таково, что следует провести две линии. Затем сделаем то же самое для каждого выбранного уровня и получим контурный график (рис.5 на следующей странице). При построении линий уровня следует учитывать два их важнейших свойства: 1. Линии уровня не должны кончаться в пределах поля – т.е.

http://www.mitht.ru/e-library

22

могут быть либо бесконечными, либо замкнутыми; 2. Линии уровня не могут пересекаться. Глядя на контурный график можно определить характер изменения функции (в нашем случае - это выход продукта) от двух факторов (в нашем случае - это время и температура). Например, можно выделить область наибольшего выхода (пунктир) и наметить путь его дальнейшего увеличения при выходе за область исследования (в данном случае - это повышение времени пребывания с одновременным понижением температуры).

Вданной работе нужно построить три контурных графика (для степени превращения, выхода и селективности). Не всегда просто построить линии уровня при недостаточном количестве точек. В этом случае необходимо учитывать тенденцию изменения функции по каждой координате. Можно придумать самому или воспользоваться готовой программой построения контурных графиков и сделать это с помощью компьютера. Доступное решение - использовать объемную диаграмму в программе Excel. Данные расположить в таблицу 5х5 и дать столбцам и строкам названия – значения температуры и времени.

Врассматриваемой работе по контурным графикам желательно выбрать точку (температура и время), соответствующую наибольшему значению выхода целевого продукта и селективности. Чаще всего условия, соответствующие максимальному выходу, отличаются от условий получения максимальной селективности, тогда необходимо выбрать единую точку наилучшего с вашей точки зрения осуществления процесса. В рамках этой работы точной рекомендации по осуществлению такого выбора дать нельзя, вы можете пожертвовать выходом в пользу селективности или, наоборот, в соответствии с вашими представлениями об этих характеристиках. В дальнейшем (работа 5), зная экономические условия технологического осуществления этой реакции, вы доведете решение задачи оптимизации до конца.

Анализ опытных данных вы дополняете теоретическим анализом и сопоставлением теоретических и опытных зависимостей. Теоретический анализ можно провести следующим образом [1, С. 130]. Сначала вы оцениваете пределы, к которым стремятся степень превращения, выход и селективность, если время t → 0 и если t → ∞. Ваша оценка может оказаться либо точным числом (например, данный предел равен единице), либо неизвестным пока числом, лежащим в определенном интервале (например, предел есть некоторое число, большее, чем 0, и меньшее, чем 1). Этот этап удобно оформить в виде таблицы пределов:

t 0

t

P

R

S

http://www.mitht.ru/e-library

23

Далее вы строите три графика: зависимости P, R и S от времени реакции. Графики строятся не в масштабе, но должны отражать все основные особенности зависимостей. На каждом графике необходимо построить две-три кривые, относящиеся к разным температурам. Температуры не соответствуют каким-то конкретным значениям, а лишь учитывают влияние этого фактора на вид кривых; поэтому целесообразно рассматривать их как высокую и низкую температуры, либо высокую, среднюю и низкую.

При этом построении важно обратить внимание на точки, соответствующие максимумам выхода и селективности. Из ваших графиков должно быть ясно: сдвигаются ли при изменении температуры точки максимума в сторону больших или меньших значений времени и, что еще важнее, при каких температурах (высоких, средних, низких) максимальное значение данной характеристики окажется наибольшим. Если, например, окажется, что выход и селективность наиболее велики в области высоких температур – это аргумент в пользу того, чтобы в дальнейшей работе интервал температур был смещен: теперь нижним значением окажется то, которое прежде было верхним, а новое верхнее значение – на несколько градусов выше. Повышать или понижать температуру не рекомендуется более, чем на 10 К, так как при больших изменениях температуры могут произойти нежелательные изменения: либо появятся новые побочные реакции, либо произойдет резкое снижение скорости процесса, требующее нереально больших объемов аппаратуры.

Далее вам следует провести сопоставление теоретических закономерностей с теми, что получены при моделировании на компьютере.

На этом этапе вы начинаете писать отчет по работе, включающий в себя общую постановку задачи, результаты расчета реактора идеального смешения и обсуждение этих результатов. Обсудив с преподавателем эту часть отчета, вы переходите к расчету реакторов идеального вытеснения и каскада реакторов идеального смешения. Расчет этих реакторов может проводиться при других условиях (T и t), если в результате проведенного обсуждения вы придете к выводу, что для лучшего проведения процесса нужно выйти за пределы первоначально заданной области исследования.

3.3. Реактор идеального вытеснения

Планисследования.

Исследуя реактор идеального вытеснения, основываются на результатах, полученных для реактора идеального смешения. Выбирается температура, обеспечивающая наилучшую работу этого реактора, и для реактора идеального вытеснения проводится расчет изменения характеристик реактора в зависимости от

http://www.mitht.ru/e-library

24

времени пребывания. Рекомендуется провести моделирование при трёх температурах; так, если вы пришли к выводу, что целесообразна работа в области низких температур, то можно в качестве верхнего уровня принять низшую из рекомендованных в работе №2, а затем исследовать две температуры – на 10 и на 20 градусов ниже. Если результаты могут улучшиться при повышении температуры, то можно принять высшую из рекомендованных температур, а также температуры на 5 и на 10 градусов выше. Если предполагаемая оптимальная область температур лежит внутри первоначально заданной, то рекомендуется выбрать три из уже исследованных температур. Выбор интервала времени может основываться на таких соображениях. При заданной температуре селективность с увеличением времени монотонно падает, а выход сначала растет, а затем падает. В начале исследования нельзя сказать заранее, что окажется существеннее для оптимизации процесса: высокая селективность или высокий выход. Но ясно, что за максимумом выхода, когда уменьшаются и селективность, и выход, процесс будет далек от оптимума. Поэтому имеет смысл при каждой температуре отыскать такое значение времени, при котором выход слегка перейдет через максимум (чтобы убедиться, что максимум достигнут). Отыскание максимума осуществляется проведением ряда расчетов с варьированием максимального задаваемого значения времени до тех пор, пока не окажется, что самый большой выход приходится на вторую-третью точку от конца. Возможен и другой подход, когда вы заранее решаете, какое значение времени принять за наибольшее. Поиску значения времени, соответствующего максимуму выхода, могут помочь следующие соображения. Во-первых, процесс при одной из рекомендованных температур уже исследован в предыдущей части работы. Конечно, изменение характера потока может сместить максимум, но порядок времени, скорее всего, будет тем же. Во-вторых, если при какой-то температуре интересующее нас значение времени найдено, то поиск при других температурах облегчает приближенное правило Вант-Гоффа. Если температура понизилась на 10 градусов, то скорость всех реакций уменьшится приблизительно в 2- 4 раза и во столько же раз увеличится время достижения максимума. Соответственно, при повышении температуры на 5 градусов это время уменьшится приблизительно в 1.5-2 раза.

Шаг изменения времени пребывания выбирают в зависимости от величины интервала времени, ориентируясь на то, что для построения зависимостей и анализа результатов нужно получить 7-12 расчетных точек.

Подготовка к расчету.

Для расчета реактора идеального вытеснения используют Программу lr3vyt [2]. В отличие от предыдущих работ, в эту программу вы должны будете вписать уравнения, представляющие математическое описание реактора и формулы для расчета характеристик реакции (P,R,S). Поэтому первым делом вы записываете в

http://www.mitht.ru/e-library

25

рабочей тетради математическое описание в виде системы дифференциальных уравнений с начальными условиями и расчетные формулы (уравнения Аррениуса для расчета каждой константы скорости и формулы для расчета характеристик реакции).

После вызова программы вы приступаете к ее модификации – записываете вашу математическую модель, или делаете необходимые исправления в уже записанных для другой задачи уравнениях. Ниже приведен полный текст подпрограмм:

1Sub prcMod(T, c(), d(), k1, k2, k3)

2k1 = 56020 * Exp((-42296) / (8.314 * T))

3k2 = 11790000 * Exp((-61497) / (8.314 * T))

4k3 = 860600000000# * Exp((-93695) / (8.314 * T))

5d(1) = -k1 * c(1) - k3 * c(1)

6d(2) = 2 * k1 * c(1) - 2 * k2 * c(2)

7d(3) = k2 * c(2)

8d(4) = k3 * c(1)

9End Sub

10Sub prcPRS(c(), p, r, s)

11p = (1.5 - c(1)) / 1.5: r = 1 / 2 * c(2) / 1.5: s = c(2) / 2 / (1.5 - c(1))

12End Sub

Строки 2-4 представляют собой уравнения Аррениуса для 3 реакций в системе, строки 5-8 должны содержать выражения для скоростей по веществам А1- А4, наконец, в 11-й строке записаны выражения для степени превращения, выхода по целевому продукту (А2) и селективности (также по А2). Рассмотрим запись модели на конкретном примере. Допустим, имеется система реакций со следующими параметрами уравнения Аррениуса, рассчитанными во 2-й работе:

A1 → 2A2, k10 8.6 1011,Ea1 91500Дж/ моль

A2 → A3, k20 1.1 107,Ea2 59000Дж/ моль

A1 → A4, k10 5.5 104,Ea3 45000Дж/ моль

Соответствующий блок программы с уравнениями Аррениуса запишется следующим образом:

2k1 = 8.6Е11 * Exp((-91500) / (8.314 * T))

3k2 = 1.1Е7 * Exp((-59000) / (8.314 * T))

4k3 = 5.5Е4 * Exp((-45000) / (8.314 * T))

Начальная концентрация C10 1.2моль/ л. Модель для реактора идеального вытес-

нения:

http://www.mitht.ru/e-library

26

dc1 k1c1 k3c1 dt

dc2 2k1c1 k2c2 dt

dc3 k2c2 dt

dc4 k3c1 dt

Соответствующий блок программы:

5d(1) = -k1 * c(1) - k3 * c(1)

6d(2) = 2 * k1 * c(1) - k2 * c(2)

7d(3) = k2 * c(2)

8d(4) = k3 * c(1)

Выражения для степени превращения, выхода по А2 и селективности по А2:

P	c0	c	,R	c	2	,S	c	2
	1	1					2 c0
		c0		2c0				c
		1			1		1	1

Соответствующий блок программы:

11 p = (1.2 - c(1))/1.2: r = с(2)/(2 * 1.2): s = c(2)/(2 *(1.2 - c(1)))

Т.е. в целом программа будет выглядеть следующим образом:

1Sub prcMod(T, c(), d(), k1, k2, k3)

2k1 = 8.6Е11 * Exp((-91500) / (8.314 * T))

3k2 = 1.1Е7 * Exp((-59000) / (8.314 * T))

4k3 = 5.5Е4 * Exp((-45000) / (8.314 * T))

5d(1) = -k1 * c(1) - k3 * c(1)

6d(2) = 2 * k1 * c(1) - k2 * c(2)

7d(3) = k2 * c(2)

8d(4) = k3 * c(1)

9End Sub

10Sub prcPRS(c(), p, r, s)

11p = (1.2 - c(1))/1.2: r = с(2)/(2 * 1.2): s = c(2)/(2 *(1.2 - c(1)))

12End Sub

Отредактировав программу, вы запускаете ее на решение (F5). Далее программа работает в диалоговом режиме. Вводится максимальное время интегрирования, шаг по времени, который соответствует интервалу вывода на экран рассчитанных характеристик, и температура. В качестве решения выводится значение времени, концентрации реагирующих веществ и значения степени превращения,

http://www.mitht.ru/e-library

27

выхода и селективности для каждого шага по времени пребывания. Расчет иллюстрируется графиком зависимости характеристик реакции от времени. После окончания расчета при одной температуре вы запускаете программу снова и делаете расчет при других температурах.

Обработка результатов

На трех графиках представляются зависимости каждой из характеристик от времени пребывания при трех температурах (три кривых на каждом графике), а также один график зависимости концентраций всех реагирующих веществ от времени реакции при одной (основной) температуре.

3.4. Каскад реакторов идеального смешения

Планисследования

По результатам второй части работы вы выбираете наилучший режим. Под режимом здесь понимается сочетание температуры и среднего времени пребывания. По какому критерию считать данный режим наилучшим, решаете вы; в вашем отчете должны быть приведены соображения, почему выбранный режим лучше прочих. Именно в этом режиме вы проведете расчет каскада реакторов идеального смешения в зависимости от числа аппаратов в каскаде, сохраняя постоянным общий объем каскада, т.е. время пребывания. Рекомендуется провести расчета для аппаратов, соответствующих таким числам ячеек: 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 30, 40, 50.

Подготовка к расчету.

Расчет каскада реакторов идеального смешения осуществляется с помощью Программы lr3kask, которая построена так же как программа lr3sm расчета реактора идеального смешения. В качестве исходной информации используется та же матрица стехиометрических коэффициентов, программа работает в диалоговом режиме, в качестве исходных данных запрашивая температуру, время пребывания и число аппаратов каскада. Выводятся концентрации и характеристики реакции (P,R,S) на выходе из последнего аппарата каскада. Выводятся также константы скорости.

Обработка результатов

Строятся графики зависимостей всех концентраций и трех характеристик (P, R, S) от числа аппаратов каскада.

3.5. Обсуждение полученных результатов

Подход к анализу результатов расчета реактора идеального смешения был уже изложен в соответствующей части пособия. Теперь вы продолжаете обсуждение результатов расчета реакторов идеального вытеснения и каскада реакторов и

http://www.mitht.ru/e-library

28

написание отчета. Сначала полученные зависимости должны быть проанализированы с точки зрения их соответствия физическому смыслу задачи. Необходимо суметь объяснить ход каждой кривой, соответствующей изменению каждой характеристики от времени при разных температурах, для аппарата идеального вытеснения и зависимости концентраций реагирующих веществ от числа аппаратов каскада. Сложные зависимости, имеющие минимум или максимум, или меняющие свой вид в зависимости от значения параметров, заслуживают более внимательного анализа и объяснения. Если кривая имеет максимум или минимум, или анализ показывает возможность появления экстремума вне исследуемой области, эти экстремальные точки должны быть исследованы более внимательно, потому что эти режимы могут соответствовать лучшим условиям проведения процесса, что пригодится при формулировании выводов.

Проводится также сравнительный анализ результатов проведения реакции в реакторах с различными гидродинамическими режимами с целью выбора наилучшего типа аппарата. Таким образом, в качестве выводов необходимо сформулировать ваши соображения о том, в каком реакторе и в каких условия следует проводить заданную реакцию. Желательно привести ваши соображения о разумном числе ячеек в случае ячеечной модели.

Далее, в работе 5 решается задача оптимизации реактора на основе единого экономического критерия оптимальности. Предварительно, в работе 4, вы определяете гидродинамический режим реактора, для которого проводится оптимизация, в рамках ячеечной модели, т.е. определяете число ячеек. Это делается на основании полученной для модели этого реактора дифференциальной функции распределения времени пребывания [1, C. 178].

Работа4.Определение гидродинамического режима реактора на основе функции распределениявремени пребывания.

4.1. Постановка задачи

Для модели того реактора, характеристики которого вы будете определять в следующей работе, получена дифференциальная функция распределения времени пребывания. Необходимо определить параметры модели – в данном случае, модель ячеечная, и требуется определить число ячеек.

4.2. Исходные данные

Функция распределения получается в результате вычислительного эксперимента. Условия проведения эксперимента: имеется реальный аппарат (модель того аппарата, который вы будете оптимизировать в работе 5), объемом V, через аппарат протекает поток жидкости с объемным расходом v. Для получения диффе-

http://www.mitht.ru/e-library

29

ренциальной функции распределения времени пребывания на вход аппарата импульсом подается индикатор в количестве g0 . На выходе из аппарата измеряется концентрация индикатора в зависимости от времени. Объем реактора, расход потока и количество индикатора выбираются из индивидуального задания к данной работе в соответствии с вариантом.

4.3. Порядокработы

Для численного получения функции распределения необходимо воспользоваться программой lr4. Программа запрашивает условия эксперимента: объем аппарата, расход жидкости и количество введенного индикатора, например, V=0,01м3, v=0,001м3/c, g0=0,1г. Компьютер выдает график функции распределения и численную зависимость концентрации индикатора си от времени t. Эти результаты выводятся на экран. Результаты опыта заносятся в таблицу:

Вариант № V= v= g0=

№	t	τ = t / t0	си	C(τ) = си / C0

C0 рассчитывается по формуле C0 = g0 / V

По результатам опыта рассчитывается среднее время пребывания и дисперсию распределения времени пребывания и строится график дифференциальной функции распределения в нормированных координатах. Расчетные формулы:

	tси(t)dt	2	t2си (t)dt	1
t0	0		0
	си (t)dt		t02 си(t)dt
0		0

При расчете интегралов целесообразно пользоваться формулой парабол (формула Симпсона), основанный на том, что кривая аппроксимируется рядом парабол, проведенных через каждые три последовательные точки, Другими словами, на основании 2∆X строится ряд параболических трапеций, суммирование их площадей позволяет получить приближенно площадь под кривой и значение интеграла:

	Xn	X
	Y(X)dX		(Y1 4Y2 2Y3 4Y4 2Y5... 2Yn 2 4Yn 1 Yn)
		3
	X1

http://www.mitht.ru/e-library

30

В данном расчете X - это время t, Y(X) имеет смысл си(t), tcи(t) или t2cи(t) в зависимости от того, какой интеграл считается. Yi - численные значения этих функций для конкретных временных точек [1, С. 46].

Для определения числа ячеек ячеечной модели следует воспользоваться простым соотношением n=1/ 2

Работа5.Оптимизацияхимического процесса.

5.1. Формулирование задачи оптимизации.

Эта работа посвящена оптимизации той реакции, которая изучалась в работах № 2 и 3. Анализ особенностей процесса обнаруживает следующую сложность. Главными результатами, характеризующими качество процесса, являются выход целевого продукта и селективность (степень превращения реагента при наличии побочных реакций значительно менее важна: нет смысла в полном превращении реагента, если при этом получится мало целевого продукта и много побочных). Однако выясняется, что изменения выхода и селективности могут быть противоречивы: например, там, где селективность максимальна, выход очень мал, а при максимуме выхода селективность понижена. Поэтому выбор одной из этих характеристик в качестве критерия оптимальности опасен: преимущества, связанные с ее максимумом, снижаются из-за малого значения второй характеристики.

Чаще всего в таких случаях переходят к экономическим критериям. В работе №5 вам предлагается принять в качестве критерия оптимальности приведенные затраты – сумму затрат, приходящуюся на единицу полученного продукта.

При формировании критерия отнесем вначале все затраты к единице объема пропущенной через реактор жидкости. При этом, учитывая нестабильность цен на нынешнем этапе истории, цены заданы условно на уровне 1990 г. Обозначим эти цены так:

Ц1 – цена реагента, руб/кмоль;

Ц3 – стоимость обезвреживания полученного побочного продукта А3, руб/кмоль;

Ц4 – то же для продукта А4;

Цv – стоимость обработки (разделения, перекачки) жидкости, выходящей из реактора, руб/м3;

ЦV – стоимость обслуживания реактора, пропорциональная его объему, руб/(м3ч).

Кроме того, необходимо задать требуемую производительность по продукту П, кмоль/ч.

Обозначим: v - объемный расход жидкости, м3/с; В – среднее время пребывания, с; V – объем реактора, м3. Тогда статьи расхода будут выглядеть так:

http://www.mitht.ru/e-library