Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби
Для наближеного розрахунку числа побудований наступний ланцюговий дріб:
(2.2.1)
(послідовність неповних часток така: 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13,...)
Знайдемо підходящі для практичних розрахунків дроби використовуючи вищенаведений ланцюговий дріб:
а потім складемо таблицю для обчислення наступних дробів за допомогою рекурентного правила:
Степінь дробу (за числом в ланцюзі) |
3 (1) |
7(2) |
15(3) |
1(4) |
Чисельник дробу |
3 |
22 |
333 |
355 |
Знаменник дробу |
1 |
7 |
106 |
113 |
Одержуємо
підходящі дроби
й
.
Наближення
, рівне
,
було відомо ще Архімедові, а наближенням
користувався Андріан Мецій ще наприкінці
16 сторіччя. Перше наближення дуже зручно
тим, що знаменник 7 дуже невеликий. У
другому дробі при порівняно невеликому
знаменнику
виходить наближене значення
з високою точністю.
Щоб оцінити цю точність, використовуємо формулу [4]
(2.2.2)
У
нашім випадку
,
а
Виходить,
тобто
точність отриманої відповіді перевищує
.
Обертаючи дріб
у десятковий, одержуємо:
Використана література:
1. Бородін О.І. Теорія чисел.К.: Радянська школа, 1965. 262 с.
2. Звонкин А. Что такое // Научнопопулярный журнал „Квант”. М.:МЦМНО, № 11, 1978
3. Кымпан Ф. История числа . М.: Наука, Гл. ред. физ.мат.лит.,1987. – 239 с.
4. Марков А. Доказательство трансцендентности числа (невозможность квадратуры круга) Санкт Петербург, Типография Императорской академии наук, 1883. – 74 с.
http://formula.co.ua/blog/about Число пі, 2010.
Житомирський державний університет ім. І.Я.Франка
Способи обчислення числа „π”
Виконали:
студентки 22 групи
фізико-математичного ф-ту
Телецька Марія
Онижук Інна
Житомир, 2011