- •Теорія ймовірностей
- •1. Аксіоматичне означення ймовірності. Формула повної імовірності та ф-ла Баєса.
- •2. Випадкові величини. Властивості функцій розподілу.
- •3.Нерівність Чебишева. Закон великих чисел
- •4. Основні типи дискретних та неперервних розподілів.
- •1. Рівномірний з параметрами
- •2. Показниковий з параметром
- •3. Нормальний з параметрами
- •5.Центральна гранична теорема 1
- •6. Поняття випадкового процесу. Вінерівський та пуасонівський процеси.
- •7. Випадкове середнє та дисперсія. Емпірична функція розподілу. Теореми глівенка та колмогорова
- •8.Перевірка статистичних гіпотез. Критерії згоди колмогорова і 2 ( критерій пірсона).
7. Випадкове середнє та дисперсія. Емпірична функція розподілу. Теореми глівенка та колмогорова
Озн. Вибірка - мат. модель незалежних вимірювань, що проводяться в однакових умовах.
Основною характеристикою вибірки є емпірична функція розподілу.
Озн. Емпірична функція розподілу - це функція вигляду
, де
інакше кажучи, це сума тих елементів вибірки, поділена на n, які попали лівіше,ніж n. Очевидно, що ця функція також випадкова.
Озн. Варіаційний ряд- елементи вибірки, розміщені в порядку зростання:
.
Озн. Кажуть, що послідовність випадкових величин збігається за ймовірністю до , якщо
,
та .
Має місце слідуюча теорема:
Теорема. Якщо F(x) - теоретична функція розподілу, то справедливе наступне твердження:
.
Доведення. Нехай xk - довільний елемент вибірки. Розглянемо множини та . В схемі Бернуллі
р = F(x)=p, p = 1 - F(x) = q.
Тоді для кожного x емпірична функція розподілу буде показувати кількість успіхів, поділену на n, в схемі Бернуллі з n випробуваннями та характеристиками p та q. Далі, за законом великих чисел в схемі Бернуллі маємо
, що і доводить теорему.
Все.
Озн. Вибірковий момент 1-го порядку - вибіркове середнє визначається для вибірки з генеральної сукупності за формулою:
, а вибіркова дисперсія - центрований момент 2-го порядку:
2.
Також мають місце слідуючі важливі теореми.
Теорема Глівенка.
Для довільної функції розподілу справедливе твердження
.
Теорема Колмогорова.
Для довільної неперервної функції розподілу F(x) справедливе наступне твердження:
,
де K(z) - функція розподілу Колмогорова.
Тобто
K(z)=
Тобто якщо задати якесь значення і підібрати таке , що К( )= , то з ймовірністю (1- ) для всіх x :
8.Перевірка статистичних гіпотез. Критерії згоди колмогорова і 2 ( критерій пірсона).
Задача перевірки гіпотез відноситься до 3-го типу задач мат. статистики. Ця задача полягає у визначенні на основі спостережень узгодженності наявної інформації з тим чи іншим припущенням про значення невідомого параметру . Існує два типи гіпотез, що перевіряються:
типу альтернативного вибору;
типу .
Альтернативний вибір.
У задачі перевірки гіпотез типу АВ формулюються два припущення, щодо можливості значення невідомого параметру . Ці припущення позначаються як та . На основі виборки , треба сформулювати правило, яке б робило вибір на користь тієї чи іншої гіпотези.
Оскільки кожна серія спостережень дає нову вибірку,то висновки про ту чи іншу гіпотезу ( що базуються на основі правила ) будуть носити випадковий характер. Отже, в задачі АВ вводять додаткову характеристику: довірчу ймовірність - ймовірність прийняття гіпотези , коли вона є справедливою.
Більш формально: , , , .
В задачі АВ необхідно з двох однотипних припущень та про значення параметру вибрати одне . Ймовірність вибору першого, коли воно дійсно вірне , повинна бути , а також ймовірність відхилення другого, якщо насправді воно справедливе, повинна бути мінімальною. Ці дві ймовірності в математичній статистиці прийнято називати похибками першого та другого роду відповідно. Тобто необхідно прийняти рішення при фіксованій похибці першого роду і так , щоб похибка другого роду була мінімальною.
Типу .
У задачі перевірки гіпотези типу висувається наступна гіпотеза: і її альтернатива: . Отже у цьому типі гіпотез на відміну від попередньго випадку, основна гіпотеза і альтернативна є різними за типом : - одинична та - множинна .
Отже в цій задачі треба із імовірністю підтвердити припущення , коли воно є вірним чи відхилити його.
Критерій Смірнова-Колмогорова.
Цей критерій застосовується для перевірки гіпотез типу , які мають форму припущення про вигляд функції розподілу.
Маємо вибірку з геральної сукупності
, де - будь-яка задана, тобто функція розподілу перевіряється на співпадання з заданою.
Алгоритм критерію:
Будуємо статистику , де - емпірична функція розподілу. Тоді справедлива
Теорема. (Колмогорова).
Якщо вибірка була побудована з функцією розподілу ( повинна бути неперервною), тобто має місце наше припущення, то
. Тобто якщо припущення зроблено не правильно, то данної границі , взагалі кажучи, може не існувати.
По вибранному знаходимо : , далі - довірча область для .
Приймаємо рішення в залежності від справедливості співвідношення : : + - приймається
- - відхиляється
Критерій (Пірсона).
Цей критерій застосовуєьтся для перевірки гіпотез для групованих вибірок.
Озн. Групована вибірка - це представлення вихідної вибірки у вигляді розбиття на групи, що не мають спільних елементів і охоплюють всю вибірку. Висувається ознака кожної з груп і кількість елементів (абсолютна частота) у кожній групі. Ознаками групування (груп) у дискретному випадку є можливі значення спостережень, у неперервному - інтервали можливих значень спостережень.
Гіпотеза, до якої застосовується вказаний критерій, має вигляд припущень про ймовірність належності будь-якій з груп групованої вибірки:
Алгоритм критерію.
1. Статистика критерію: , де
- абсолютні кількості віднесення до i-ї групи у відповідності з припущенням гіпотези;
- абсолютна частота;
- характеристика розходження наявної абсолютної частоти кожної групи і передбачуваної у відповідності з припущенням гіпотези.
Твердження про розподіл статистики має асимптотичних характер: розподіл N при співпадає з .
Іноді користуються модифікованим твердженням про вигляд граничного розподілу.
Він має вигляд , де - кількість груп, - кількість невідомих параметрів , що ,залежать від цих параметрів.
Алгоритм подальших дій у критерії співпадає із звичайними кроками критерію згоди:
2. - довірча область;
3. : + - приймається
- - відхиляється