Свойства степенных рядов:

1. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда:

S(x)=a0+a1x+a2x(\2)+..+anx(\n)+.. (-R<x<R)

Дополнительно отметим, что в том конце интервала, где степенной ряд сходится, его сумма S(x) остается односторонне непрерывной (изнутри интервала сходимости).

2. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости:

INT(/0)(\x)S(x)dx=INT(/0)(\x)a0dx+INT(/0)(\x)a1xdx+...+INT(/0)(\x)an*x(\n)dx=a0x+a1/2*x(\2)+a2/3*x(\3)+..+an/(n+1)*x(\n+1)+.. (-R<x<R).

Получившийся новый степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и данный.

3. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости:

S’(x)=a1+2a(/2)x+..+n*a(/n)*x(\n-1)+.. (-R<x<R).

54. Сформулировать теорему Абеля. Дать определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда. Записать формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда и объяснить их.

1)Теорема Абеля - Если степенной ряд сходится при Х=Х₀≠0, то он сходится абсолютно для всех Х для которых выполняется условие: |X|<|X₀|. 2) Если расходится при X=X’₀, то он расходится для всех Х при условии |X|>|X’₀|.

Радиус сх.степенного ряда – число R которое является половиной интервала сходимости.

Интервал сх.степенного ряда – a-R<x<a+R. (a-некоторое число,x-переменная). 55. Записать формулу Тейлора и Маклорена и разъяснить их. Сформулировать условия разложимости функции в ряд Тейлора.

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.  , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.  Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех

Д остаточное условие: Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех выполняется условие при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале. 56. Определите понятие абсолютной и относительной погрешности. Сформулируйте теоремы о погрешности суммы, разности, произведения, частного, степени и корня. Изложите правила округления.

Абсолютная погрешность измерения - разность между результатом измерения Х и истинным значением Хo измеряемой величины:

Относительная погрешность измерения - отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины Хo:

Погрешность суммы

Абсолютная погрешность суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

|Δu|<=|Δx1|+|Δx2|+...+|Δxn|

Следствие: За предельную абсолютную погрешность алгебраической суммы можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей.

Δu=Δx1+Δx2+...+Δxn

Если слагаемые - одного и того же знака, тот предельная относительная погрешность их суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.

δu<=max(δx1,δx2,...,δxn)

Погрешность разности

Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого

Δu=Δx1+Δx2

Погрешность произведения

Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышают суммы относительных погрешностей этих чисел.

δ<=δ1+δ2+...+δn

Погрешность частного

Относительная погрешность частного не превышает суммы относительного погрешностей делимого и делителя.

Погрешность степени

Предельная относительная погрешность m-ой степени в m раз больше предельной относительной погрешности подкоренного числа.

δu=m·δx

Относительная погрешность корня

Предельная относительная погрешность корня m-ой степени в m раз меньше предельной относительной погрешности подкоренного числа.

δu=(1/m)·δx

При округлении числа мы заменяем его приближенным с меньшим количеством значащих чисел. В результате чего возникает погрешность округления; чтобы она была минимальной, нужно придерживаться правил округления.

1. Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на 1.

4,57=4,6 0,6973=0,70

2. Увеличение на 1 и тогда, когда первая их отбрасываемых цифр равна 5, а за ней следует отличная от 0 цифра.

0,651=0,7 4,7756=4,78

3. Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последнее из сохраняемых остается без изменения.

0,6437=0,6 3,77532=3,775

4. Если первое из отбрасываемых цифр равно 5, а за ней не следуют оотличные от 0 цифры, то последнее из сохраняемых увеличивается на 1, если она нечетная, и остается без изменения, если четная.

5,575=5,58 5,585=5,58

Таким образом при использовании правил округления получается, что абсолютная погрешность округлений не превосходит половины единицы разряда определяемого последней оставленной значащей цифрой. 57. Сформулируйте задачу интерполирования функций, изложите математическую постановку задачи интерполирования, определите понятие интерполяционного многочлена Лагранжа.

Задача интерполяции (или интерполирования) состоит в построении функции g(x), совпадающей с заданной ƒ(x) в некотором наборе точек {x1,x2,...,xn+1} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия:

(xk)=yk, k=1,2,...,n+1,

где yk - известные значения функции ƒ(x) в точках xk. Функция g(x) называется интерполянтом функции ƒ(x).

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

интерполяционный многочлен Лагранжа