58. Назовите известные методы приближенного решения нелинейных уравнений. Объясните алгоритмы метода половинного деления, метода хорд.
Метод Хорд. Суть метода состоит в том, что дуга кривой y=f(x) заменяется стягивающей ее хордой и за приближенное значение корня берется абсцисса точки пересечения хорды с осью Ох.
-если, 
(x)
(x)>0
на [a,b] (при
этом f (b)
(x)>0
на [a,b], то
f
,
k=0,1,..
-если,
(x)
(x)<0
на [a,b] (при
этом f (a)
(x)>0
на [a,b], то
f
,
k=0,1,..
Упрощенная формула хорд:
.
Метод половинного деления. Согласно
методу половинного деления, сначала
отрезок [a,b]
делится пополам и из 2ух полученных
выбирается тот, на концах которого
функция f(x)
имеет противоположное значение. Затем
выбирается отрезок, снова делится
пополам и проводятся аналитическое
рассуждение. Процесс продолжается до
тез пор, пока на каком-то k-м
этапе либо середина отрезка окажется
корнем уравнения, либо получится отрезок
[ak, bk], такой,
что 
=
За приближенное значение корня следует
взять 
.
Методы приближенного решения нелинейных уравнений:
1)При графическом методе отделения корней строят график функций y=(f) и определяют интегралы, в которых находятся точки пересечения с осью Ox.
Если построить график функций y=(f)
затруднительно, то уравнение f(x)=0
представляют в эквивалентном виде 
и строят графики функций y=
и
y=
Абсциссой точек пересечения этих
графиков и явл. корнем данного уравнения.
2)При аналитическом методе отделения корней используется след. утверждения:
-Если непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a, b] принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка существует по крайне мере один корень E будет единственным, если (x) сохраняет знак внутри интеграла (a, b).
-Если 
(x)
непрерывна на функции [a,
b], Е- точное, ax-
приближенное корня уравнения
(x)=0,
что имеет оценку абсолютной погрешности.
59.
Перечислите известные квадратные формы
для приближенного вычисления интегралов.
Запишите и объясните формулы прямоугольков
и трапеций.
Формула средних прямоугольников
Формула трапеций
Формула Симпсона
60. Назовите известные методы приближенного решения дифференциальных уравнений. Объясните алгоритм метода Эйлера.
Известные методы решения дифференциальных уравнений:
метод Рунге-Кутта, экстраполяционные методы Адамса, метод Милна
Алгоритм метода Эйлера:
Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка
где функция f определена на некоторой
области
. Решение разыскивается на интервале
[x0,b). На этом интервале введем узлы
Приближенное решение в узлах xi, которое обозначим через yi определяется по формуле
Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.