Добавил:

inrad Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Высшая математика

Файл:

ВМ Контрольна 1 вариант 1

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2014

Размер:

1.06 Mб

Скачать

☆

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра высшей математики

Факультет ФНиДО

Специальность ПОИТ

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика»

Вариант № 1

Выполнил студент: Янченко А.А.

группа 191003

Зачетная книжка № 191003-31

Барань 2011

Задача1

Даны четыре вектора;;;, заданные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение

1) Найдем вектор

2() = () = (4; 2; -2).

Тогда (f₁, f₂, f₃) = (4 - (-2); 2 - 5; - 2 - 3) = (6; -3; -5).

Скалярное произведение векторов найдем по формуле:

= = b₁f₁ + b₂f₂ + b₃f₃ = 1  6 + 3  (-3) + 0  (-5) = 6 - 9 + 0 = -3

б) Найдем вектор

3(1; 3; 0) = (3  1; 3  3; 3 0) = (3; 9; 0)

Тогда (е₁, е₂, е₃) = (2 - 3; 1- 9; -1 – 0) = (-1; - 8; -1)

Векторное произведение векторов найдем по формуле:

3) Найдем смешанное произведение векторов :

Т.к. ≠ 0, значит данные векторы не компланарны. Таким образом, они линейно независимы и образуют базис.

Найдем координаты вектора d в этом базисе.

Это равенство равносильно следующим равенствам:

2x + 1 y - 2 z = - 6 2x + у - 2z = - 6

1 x + 3y + 5z = 20  x + 3y + 5z = 20

 -1 x + 0  y + 3z = 10  - x + 3z = 10

Решим данную систему. Из 3-го уравнения получаем х = 3z - 10. Подставим полученное выражение для x в 1-ое уравнение:

2  (3z – 10) + y – 2z = - 6  у = - 4z + 14

Подставим полученные выражения для x и z вo 2-oе уравнение:

3z - 10 + 3(- 4z + 14) + 5z = 20

z = 3

x = 3  3 – 10 = - 1

y = - 4  3 + 14 = 2

Тогда

Таким образом,вектор в базисе имеет координаты х = - 1; у = 2; z = 3

Ответ: 1) - 3; 2) ; 3)

Задача 11

Даны координаты вершин пирамиды :,, ,. Найти:

1) длину ребра ;

2) уравнение прямой ;

3) угол между рёбрами и ;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между ребром и гранью ;

6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

7) площадь грани ;

8) объём пирамиды;

9) сделать чертёж.

Решение

1) Найдем длину ребра А₁А₂ по формуле:

2) Уравнение прямой А₁А₂ напишем в виде уравнения прямой, проходящей через две точки А₁ и А₂:

- уравнение прямой А₁А₂.

Вектор - направляющий вектор прямой А₁А₂.

3) Угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄ найдем как угол  между векторами :

- направляющий вектор прямой А₁А₄.

_ ^ _

Следовательно, (А₁А₂, А₁А₄) =  = arccos 0,906  0,436(рад)  25^о

4) Найдем уравнение плоскости А₁А₂ А₃ по трем точкам:

(x-3)( 10 + 0) – (y - 1)( - 8 - 12 ) + ( z - 4)(0 + 20) = 0

10(x-3) + 20(y - 1) + 20( z - 4) = 0

10x + 20y + 20z - 130 = 0 

x + 2y + 2z - 13 = 0 – общее уравнение плоскости А₁А₂ А₃.

= (A, B, C) = (1; 2; 2) – нормальный вектор плоскости А₁А₂ А₃.

5) Найдем угол между гранью А₁А₂ А₃ и ребром А₁ А₄:

, где

A, B, C - координаты нормального вектора плоскости А₁А₂ А₃,

- координаты направляющего вектора прямой А₁А₄.

 = arccin 0,356 = 0,364(рад)  20,85^о

6) Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; по формуле:

где N(A, B,C) – нормальный вектор к плоскости А₁А₂ А₃, являющийся направляющим вектором искомой высоты.

Имеем:

7) Найдем площадь грани А₁ А₂ А_3.

8) Найдем объём пирамиды по формуле:

V = ,

где S- площадь грани А₁ А₂ А_3,h – высота, опущенная из вершины А₄.

Найдем длину высоты h как расстояние от точки А₄(0; 4; -1) до

плоскости А₁ А₂ А₃:

9) Сделаем чертеж пирамиды:

Ответ: 1); 2) ; 3) 25^о; 4) x + 2y + 2z - 13 = 0;

5) 20,85^о; 6) ; 7) 15 (ед.кв.); 8) (ед.куб.)

Задача 21

Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

Решение

Исходя из заданного уравнения прямой запишем ее параметрическое уравнение:

х = 4,5 + t

y = - 3 – 0,5t

z = 2 + t

Ее направляющим вектором будет вектор (1; - 0,5; 1).

Проекция точки М (точка F) на заданную прямую имеет координаты:

F = (4,5 + t; - 3 – 0,5t; 2 + t)

Тогда вектор = (х_F – х_М; у_F – у_М; z_F – z_М) = (4,5 + t - 2; - 3 – 0,5t – (-1); 2 + t – 1) = (t + 2,5; - 0,5t - 2; t + 1)

Т.к. направляющий вектор заданной прямой и вектор перпендикулярны, то скалярное произведение этих векторов будет равно нулю:

= 0 или

(t + 2,5) · 1 + (- 0,5t - 2) · (- 0,5) + (t + 1) · 1 = 0  2,25t = - 4,5  t = - 2

Тогда получим координаты точки F:

F= (4,5 + t; - 3 – 0,5t; 2 + t) = (4,5 - 2; - 3 – 0,5  (-2); 2 - 2) =

= (2,5; - 2; 0)

Итак, точка F(2,5; - 2; 0) – точка пересечения с заданной прямой перпендикуляра, опущенного из точки М. Координаты искомой симметричной точки М  найдем из формул: