Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

по дисциплине: Физика

Вариант №5

Выполнил: студент

2 Курса заочного факультета

Минск 2010 г.

Задача № 105. Частица движется так, что ее скорость изменяется со временем по закону υ(t) = 3t∙i - t² ∙ j + 4∙k (м/с), где t - время в секундах. В начальный момент времени t₀= 0 частица находилась в точке с координатами (0: 0: 1 м). Найти: 1) зависимость от времени модуля скорости частицы: 2) зависимости от времени вектора ускорения и модуля ускорения: 3) кинематический закон движения частицы: 4) радиус-вектор в момент времени t₁=l,0 с; 5) модуль перемещения частицы за время ∆t = t₁-t_0.

Решение:

Физическая система состоит из одной частицы, скорость которой изменяется со временем по закону

υ(t) = 3t∙i -t² ∙ j + 4∙k (м/с).

Так как вектор скорости ν частицы связан с его проекциями υ _х , υ _у , υ_z на координатные оси

υ = υ _х ∙i - υ _у ∙ j + υ_z ∙k .

то зависимости от времени проекций вектора скорости данной частицы на координатные оси имеют вид

υ _х(f) = 3t (м/с), υ _у = -t² (м/с), υ_z, = 4 (м/с).

1) Модуль скорости частицы связан с его проекциями на координатные оси как , тогда искомая зависимость модуля скорости час- тицы от времени имеет вид .

2) Вектор ускорения а можно выразить через его проекции α_х , α _у , α_z на координатные оси следующим образом: α = α _х ∙i - α _у ∙ j + α_z ∙k.

Из определения вектора ускорения следует. что проекции вектора

ускорения частицы на координатные оси равны производным одноименных

проекции ее скорости по времени: ,

Учитывая, что υ _х(f) = 3t (м/с), υ _у = -t² (м/с), υ_z, = 4 (м/с), найдем проекции α_х , α _у , α_z вектора ускорения частицы на координатные оси:

,

Тогда зависимость от времени вектора ускорения частицы имеет вид

α(t) = 3 ∙i – 2t ∙ j (м/с)

Модуль ускорения связан с его проекциями на координатные оси как , тогда модуль ускорения частицы зависит от времени:

(м/с).

3) Кинематический закон движения частицы - это зависимость от времени ее радиуса-вектора r(t). Так как радиус-вектор движущейся частицы можно выразить через ее координаты (проекции радиуса-вектора на координатные оси) как

r(t) = x(t)∙i +y(t) ∙ j +z(t)∙k, то для ответа на вопрос задачи необходимо найти зависимости от времени координат x(t), y(t), z(t) частицы. Из определения вектора скорости следует, что проекции вектора скорости частицы на координатные оси равны производным ее одноименных координат по времени:

,

Так как υ _х(f) = 3t (м/с) и , то получаем, что

Умножив левую и правую часть этого уравнения на dt, имеем

dx=3t∙dt

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными, решение которого получают интегрированием левой и правой части равенства:

Поскольку интегралы неопределенные, то полученное выражение содержит константу C₁, значение которой найдем из начальных условий:

подставляя значения х₀ = 0 и t_o = 0, получаем = 0 м. Тогда зависимость от времени координаты x(t) частицы имеет вид

Аналогично найдем зависимость от времени y(t) и z(t).

Так как υ_y(f) = -t² (м/с) и , то

подставляя значения y₀ = 0 и t_o = 0, получаем = 0 м. Тогда зависимость от времени координаты x(t) частицы имеет вид

Так как υ_z(f) = 4 (м/с) и , то

подставляя значения z₀ = 1 и t_o = 0, получаем = 1 м. Тогда зависимость от времени координаты x(t) частицы имеет вид

Определив зависимости от времени координат x(t), y(t), z(t) частицы, запишем кинематический закон ее движения:

4) Для нахождения радиус-вектора частицы в определенный момент времени t₁ подставим в кинематический закон движения частицы значение t₁ = l,0 с:

Проведя вычисления, получаем

5) По определению вектор перемещения ∆r частицы за время ∆t =t₁-t₀ равен ∆r = r(t₁) –r(t₀). Так как r(t₀) = x₀ ∙ i + y₀ ∙ j + z₀ ∙ k, то с учетом начальных условий х₀ = 0, у₀ =0, z_o =1 м радиус-вектор частицы в начальный момент времени равен r(t₀) = 1k (м). Тогда вектор перемещения составляет

а его модуль равен

Ответ: 1) (м/с)

2) α(t) = 3 ∙i – 2t ∙ j (м/с) (м/с).

3)

4)

5)

Задача № 115. Маховик в виде однородного кольца массой m и радиусом R с невесомыми спицами начинает вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через центр маховика перпендикулярно его плоскости, под действием касательной силы, приложенной к ободу маховика. Модуль силы зависит от времени как F = αt², где α - некоторая положительная постоянная. Найти угловую скорость ω₁ маховика в момент времени t₁ после начала действия силы.