Функция одной переменной.

Определение. Функцией называется соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу первого множества по определённому закону или правилу соответствует не более одного элемента второго множества.

Пусть дано числовое множество X и каждому значению поставлено в соответствие по некоторому правилу единственное значение . Тогда на множестве Х определена числовая функция. Правило, устанавливающее это соответствие, обозначается некоторым символом, например, f, и пишут y=f(x). Используются и другие обозначения функции: и т. д. Переменная в этих случаях называется независимой переменной, числа из множества – значениями аргумента. Число , соответствующее значению аргумента , называют значением функции при и обозначают

Определение. Совокупность всех значений аргумента х, для которых функция определена, называется областью определения этой функции и обозначают , а совокупность всех значений, принимаемых переменной , - областью значений функции и обозначают .

Основные элементарные функции.

1. Степенные функции вида .

2. Показательные функции вида .

3. Логарифмические функции вида .

4. Тригонометрические функции: .

5. Обратные тригонометрические функции: .

Функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа арифметических операций и конечного числа композиций.

Способы задания функции.

Аналитический – это задание функции с помощью формул. Например, , . Этот способ наиболее часто встречается. Если уравнение, с помощью которого задаётся функция, не разрешена относительно y, то функцию называют неявной. Когда такое решение возможно, неявная функция может быть приведена к явной форме, т. е. к виду . Например, уравнение можно рассматривать как неявно задающее функцию. Решив его относительно у, получим ту же функцию, но уже в явном виде: .

При аналитическом способе задания функции встречаются случаи, когда функция задана несколькими формулами, например

Аналитический способ компактен, легко воспроизводим, наиболее приспособлен к выполнению математических действий. Но он не всегда нагляден.

Табличный – это задание функции с помощью таблицы. Примерами являются таблицы логарифмов, тригонометрических функций, квадратных корней и т. д.

Графический – это задание функции в виде графика. График функции представляет собой множество точек вида на координатной плоскости , координаты которых связаны соотношением .

.

По графику можно найти для значения аргумента значение функции , проведя перпендикуляр к оси через точку до пересечения с графиком функции.

Основные свойства функции.

1.Чётность и нечётность. Функция называется чётной, если для любого х из области определения справедливо и нечётной, если .

График чётной функции симметричен относительно оси ординат, нечётной – относительно начала координат.

Функция, не являющаяся чётной или нечётной, называется функцией общего вида.

2.Периодичность. Функция называется периодической, если для неё существует такое положительное число , что при любом значении аргумента числа и принадлежат области определения функции и выполняются равенства .

Число называется периодом функции . Основным периодом функции называется наименьший из периодов , если он существует.

3.Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть и тогда, если , то функция – возрастающая; если - убывающая.

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными. К монотонным относятся неубывающие и невозрастающие функции, т. е. для которых при соответственно

4.Нули функции. Нулями функции называются те значения , для которых .

5.Обратные функции. Если соответствие определяется некоторым множеством пар, то обратное ему соответствие определяется множеством пар, которое получено из первого перестановкой элементов в каждой паре. Соответствие, обратное функции, может быть функцией, а может и не быть.

Функция называется обратной, если обратное ей соответствие – функция. В этом случае соответствие, обратное функции , является функцией.

Чтобы для функции , заданной формулой, найти ей обратную, нужно в формуле поменять на и на и разрешить уравнение относительно .

Графики взаимно – обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.