ВАРИАНТ № 24
Задача 1. Элементы теории погрешностей.
Найти произведение приближенных чисел и указать его погрешности (Δ и δ), если считать в исходных данных все значащие цифры верными.
Решение.
По условию:
,
,
,
,
,
.
Вычисляем:
.
Максимальное значение произведения:
.
Минимальное значение произведения:
.
Вычисляем абсолютную погрешность произведения:
.
Относительная погрешность:
.
Ответ.
,
.
Задача 2. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
а) Найти решение СЛАУ
,
где
– матрица коэффициентов,
– вектор свободных членов,
– вектор неизвестных, методом Гаусса
(с выбором главного элемента по строке,
с выбором главного элемента по столбцу,
с выбором главного элемента по всей
матрице). Заданы матрица
и вектор
.
При поиске решения (в MathCAD)
показать все промежуточные вычисления
в прямом и обратном ходе указанных
прямых методов. Полученное (приближенное)
решение сравнить с решением этой СЛАУ
в MathCAD вычислительным
блоком Given…find
(расчет провести в численном виде).
Зарисовать блок-схему алгоритма
указанного в варианте метода решения
СЛАУ при условии произвольного количества
уравнений (задаются матрица и вектор
).
,
Решение.
Блок-схема алгоритма – решение СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице:
- функция
,
с помощью которой выбираем главный
элемент по столбцу и меняем строки:
- функция
,
с помощью которой выбираем главный
элемент по строке и меняем столбцы и
перенумеровываем переменные:
- шаг прямого хода метода Гаусса (
)
и обратный ход метода Гаусса (
):
- главная программа:
Последовательность вычислений:
Решение задачи в MathCAD с помощью блока Given..Find:
Задача 3. Приближение функций.
Часть 1.
в) По заданным узловым значениям
исходной функции (векторы и
)
осуществить интерполяцию с помощью
интерполяционного полиномома Ньютона
(вид записи - интерполяция назад).
Построить в MathCAD в одном графическом шаблоне полученный интерполяционный полином и узловые значения исходной функции.
Зарисовать блок-схему алгоритма,
реализующего вычисление значения
интерполяционного полинома Ньютона
(назад) в любом значении аргумента 
при условии произвольного количества
узловых значений исходной функции.
Часть 2.
По заданным узловым значениям исходной
функции (векторы и
)
записать систему линейных алгебраических
уравнений для расчета коэффициентов
кубического сплайна со свободным
закреплением концов. Решить полученную
систему в MathCAD вычислительным
блоком Given…find,
записать функцию
,
реализующую рассчитанный кубический
сплайн, считая, что за границами
рассматриваемого диапазона изменения
аргумента изменение функции
осуществляется соответственно по
начальному и конечному частям сплайна.
Построить в одном графическом шаблоне
рассчитанный кубический сплайн и узловые
значения исходной функции.
Часть 3.
По заданным узловым значениям исходной
функции (векторы и
)
методом наименьших квадратов построить
аппроксимирующий многочлен , где
φi(x)=xi.
Условия построения аппроксимирующего
многочлена методом наименьших квадратов
дают систему линейных алгебраических
уравнений (в количестве m+1)
относительно неизвестных
.
Записать указанную систему уравнений
и решить её в MathCAD с помощью
вычислительного блока Given…find.
Отобразить в одном графическом шаблоне
полученный аппроксимирующий многочлен
Pm(x)
и узловые значения исходной функции.
Рассчитать величину
(среднеквадратичного
отклонения) для полученного аппроксимирующего
обобщённого многочлена.
,
,
,
Часть 4.
Для указанной функции g(x)
и рассматриваемого интервала
сформировать
в MathCAD в виде ранжированных
переменных N отсчётных
значений X1l
и Y1l=g(X1l)
(l=
,
h – шаг между точками в
интервале
.
Выполнить следующие виды приближений
таблично заданной функции при условии:
,
,
,
,
lnfit
а) Реализовать в MathCAD по рассчитанным узловым значениям (векторы X1 и Y1) кусочно-линейную интерполяцию (функция linterp), кубическую сплайновую с различным продолжением (функции lspline, pspline, cspline, interp). Отобразить в одном графическом шаблоне исходную функцию g(x), узловые значения (векторы X1 и Y1) и четыре полученные интерполяционные функции.
б) По узловым значениям (векторы X1 и Y1) реализовать в MathCAD В-сплайн интерполяцию с различными степенями заменяющих полиномов (n=1,2,3), выбрав самостоятельно векторы точек сшивок U. В одном графическом шаблоне отобразить исходную функцию g(x) , узловые значения (векторы X1 и Y1), три интерполяционные функции В-сплайнов и соответствующие им точки сшивок.
в) По узловым значениям (векторы
X1 и Y1)
реализовать в MathCAD линейную
аппроксимацию (функции line,
medfit), полиномиальную
аппроксимацию (функцию regress
(в задании даны степени аппроксимирующих
полиномов) и loess
(параметр span выбрать
самостоятельно)), аппроксимацию функциями
специального вида ( в задании указана
lnfit ). Отобразить в
одном графическом шаблоне исходную
функцию g(x),
узловые значения (векторы X1
и Y1) и полученные
аппроксимирующие функции; для всех
аппроксимирующих функций рассчитать
величину среднеквадратичного отклонения
(
).
Решение.
Строим интерполяционный полином Ньютона (вид записи – интерполяция назад):
.
Разделенными разностями первого порядка, составленными по соседним узлам, называют отношения
По ним можно определить разделенные разности второго порядка
Аналогично определяются разделенные
разности более высокого порядка.
Например, если известны разделенные
разности
-го
порядка, то разделенная разность
-го
порядка определяется как
.
Вычисления производим в MathCAD:
Построим в MathCAD в одном графическом шаблоне полученный интерполяционный полином и узловые значения исходной функции.
Блок-схема алгоритма, реализующего
вычисление значения интерполяционного
полинома Ньютона (назад) в любом значении
аргумента
при условии произвольного количества
узловых значений исходной функции:
По заданным узловым значениям исходной
функции (векторы и
)
запишем СЛАУ для расчета коэффициентов
кубического сплайна со свободным
закреплением концов.
Известно, что при кубическом сплайне между парой соседних узлов интерполяции имеем кубический многочлен вида
Для определения коэффициентов
,
,
,
на всех
отрезках записывают и решают
линейных уравнений из условия непрерывности
функции
непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции
и условия свободного закрепления концов
В нашем случае имеем:
Решаем эту систему в MathCAD вычислительным блоком Given…find:
Получаем:
Запишем функцию
,
реализующую рассчитанный кубический
сплайн, считая, что за границами
рассматриваемого диапазона изменения
аргумента изменение функции
осуществляется соответственно по
начальному и конечному частям сплайна:
Построим в одном графическом шаблоне рассчитанный кубический сплайн и узловые значения исходной функции:
По заданным узловым значениям исходной
функции (векторы и
)
методом наименьших квадратов определим
коэффициенты аппроксимирующего
обобщенного многочлена , где φi(x)
- система базисных функций (в задании
даны степенные функции xi
). Согласно метода наименьших квадратов
коэффициенты
определяются
из условия
. (1)
При поиске минимального значения
необходимое
и достаточное условие
(2)
дает систему из 
линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных 
.
Запишем систему (2) и решим ее в MathCAD
вычислительным блоком Given…find.
Экстремальная задача примет вид:
.
Параметры искомой зависимости находятся из системы:
Отобразим в одном графическом шаблоне
полученный аппроксимирующий обобщенный
многочлен 
и узловые значения исходной функции:
Величина 
для
полученного аппроксимирующего обобщенного
многочлена:
а) Реализуем в MathCAD по
рассчитанным узловым значениям (векторы
и
)
кусочно-линейную интерполяцию (функция
linterp), кубическую
сплайновую с различным продолжением
(функции lspline, pspline,
cspline, interp).
Отобразим в одном графическом шаблоне
исходную функцию
,
узловые значения (векторы
и
)
и четыре полученные интерполяционные
функции.
б) По узловым значениям (векторы
и
)
реализовать в MathCAD В-сплайн
интерполяцию с различными степенями
заменяющих полиномов (
),
выбрав самостоятельно векторы точек
сшивок
.
В одном графическом шаблоне отобразить
исходную функцию , узловые значения
(векторы
и
),
три интерполяционные функции В-сплайнов
и соответствующие им точки сшивок.
Графики:
в) По узловым значениям (векторы
и
)
реализуем в MathCAD линейную
аппроксимацию (функции line,
medfit), полиномиальную
аппроксимацию (функции regress
(в задании даны степени аппроксимирующих
полиномов) и loess
(параметр span выбрать
самостоятельно)), аппроксимацию функциями
специального вида (в задании указана
из функция lnfit).
Для всех аппроксимирующих функций
рассчитаем величину среднеквадратичного
отклонения (
).
Отобразим в одном графическом шаблоне
исходную функцию , узловые значения
(векторы
и
)
и полученные аппроксимирующие функции.
Задача 4. Численное интегрирование функций.
В MathCAD вычислить
интеграл 
указанным численным методом – методом
Симпсона при заданном количестве
разбиений интервала интегрирования
(шаг интегрирования 
)
и оценить погрешность применения данной
составной квадратурной формулы.
Для вычисления интеграла по указанному
методу написать в MathCAD
функцию пользователя, в которой входным
параметром является количество 
разбиений интервала интегрирования,
имя подынтегральной функции и пределы
интегрирования. Отобразить функции
,
и 
(в соответствии с применяемыми методами)
на интервале 
.
По оценке погрешности составной
квадратурной формулы интегрирования
указанным методом рассчитать количество
требуемых интервалов разбиения для
вычисления интеграла с заданной точностью
ε. Вычислить интеграл с этой точностью.
,
,
,
Решение.
Разбиение интервала задается следующим образом:
.
Для вычисления интеграла методом Симпсона воспользуемся формулой:
Составим в MathCAD функцию пользователя и вычислим интеграл при разных количествах разбиений:
В методе Симпсона (по удвоенным частичным отрезкам) – оценка погрешности соответственно
,
где 
.
Вычисляем максимальное значение модуля четвертой производной на данном отрезке:
Оценки погрешности для каждого
:
Строим графики функций
и
:
Находим необходимое количество интервалов для достижения заданной точности:
