2.2. Оценивание и способы исключения систематических

погрешностей

На этапе планирования и подготовки эксперимента прин­ципиальным является выбор метода и средства измерений, определение источников систематических погрешностей, при необходимости - их профилактика посредством термостатирования, экранирования, виброзащиты и другими способами, а также такая постановка эксперимента, которая исключила, уменьшила или позволила бы оценить наиболее существенные систематичес­кие погрешности: составление плана эксперимента, определение метрологических характеристик средств измерений, подготовка рабочего места и т.д.

Для исключения систематических погрешностей в процессе измерений применяют ряд способов. Наиболее распространенным из них является способ замещения, при котором измеряемый объект заменяют известной мерой. Если известно, что источник погрешности обладает направленным действием, то применяют способ компенсации погрешности по знаку. Он заключается в том, это измерения проводят дважды так, чтобы погрешность входила в результаты с противоположными знаками, и берут среднее значение результатов.

Эффективным способом уменьшения систематических погреш­ностей является перевод их в случайные. Например, если из­мерить напряжение несколькими вольтметрами разных типов од­новременно и усреднить результаты измерений, то можно ожи­дать, что систематические методические и инструментальное погрешности, присущие каждому прибору, вследствие случайно­го выбора приборов в какой-то мере скомпенсируются. Того же эффекта добиваются, изменяя случайным образом методику и ус­ловия эксперимента или те параметры, от которых не зависит значение измеряемой величины, но могут зависеть системати­ческие погрешности ее измерения.

Во время обработки результатов наблюдений обнаруживают и оценивают те систематические погрешности, которые не уда­лось исключить, и в результат измерения вносят поправки (см. раздел 2.1.).

Систематическую погрешность можно оценить путем приме­нения более точного метода и средства измерения. Тогда, ес­ли пренебречь погрешностью сличения, систематическая погреш­ность будет равна , где - результат точного измерения, - среднее арифметическое значение измеренной величины.

Для оценки систематической погрешности может использо­ваться также расчетный путь. Для этой цели выражают значе­ние измеряемой величины с учетом влияющего фактора ("изме­ренное значение") и при его отсутствии ("истинное значение"). Разность первого и второго значений и будет абсолютная си­стематическая погрешность.

Однако полностью исключить все систематические погреш­ности нельзя, поскольку поправки тоже определяются с неко­торой погрешностью. Таким образом, всегда остаются неисклю­чённые остатки систематической погрешности, которые обычно рассматриваются как случайные.

2.3. Случайные погрешности прямых измерений

Рассмотрим основы теории случайных погрешностей, поз­воляющей оценить величину погрешности для серии измерений, полагая, что в результатах наблюдений исключена системати­ческая составляющая погрешности.

В основе теории погрешностей лежат два предположения, подтверждаемых опытом.

1. При большом числе измерений случайные погрешности оди­наковой величины, но разного знака, т.е. погрешности как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения, встречают­ся одинаково часто.

2. Большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые, т.е. вероятность появления погрешнос­ти уменьшается с ростом величины погрешности.

Допустим, что мы произвели n прямых (непосредственных) измерений некоторой физической величины, истинное значение которой (нам неизвестное), обозначим через . Обозначим через a₁,a₂,…a_n, результаты отдельных измерений, а через - истинную абсолютную погрешность. Тогда результа­ты измерений можно представить в виде:

,

, (2.1.)

,

.

Естественно, что абсолютные погрешности могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Суммируя левую и почленно правую стороны равенств (2.1.), получаем

(2.2.)

Если ввести понятие среднеарифметической величины

то, разделив обе стороны равенства (2,2.) на число измере­ний n, получаем после перестановки членов:

(2.3.)

Если число измерений достаточно велико (строго говоря, при ) то согласно предположению 1:

,

так как в серии из большого числа измерений всякой положи­тельной погрешности можно сопоставить равную ей по абсолют­ной величине отрицательную погрешность.

Из (2.3.) следует, что при , т.е. при бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению А всех результатов произведенных измерений. Напомним, что при этом предполагается отсутствие систематических погрешностей.

Однако при ограниченном числе измерений сред­неарифметическое значение будет отличаться от истинного значения , т. е. равенство будет не точным, а приближен­ным: , и нам необходимо оценить величину этого расхож­дения.

Появление того или иного значения ; в процессе измере­ния является случайным событием. Существует некоторая веро­ятность появления этого значения ; в интервале а, следовательно, и появления соответствующего значения абсолютной погрешности . За вероятность появления величины в интервале принимают относительную частоту появления значений ; в интервале , т.е. долю числа всех значений , попадающих в интервал , от полного числа всех значений при . функция называется плотностью распределения вероятностей величины . Аналогичным образом можно ввести функцию - плот­ность распределения вероятностей случайной величины - ис­тинной погрешности. Вид функции распределения - объективно существующая и наиболее полная характеристика случайной ве­личины. На практике для описания распределения пользуются стандартными аппроксимациями.

Задача обработки результатов экспериментов обычно ста­вится следующим образом. На основе теории статистической обработки по конечному числу результатов измерений, которое редко бывает большим, находят оценки параметров функции распределения, вид которой, как правило, считается извест­ным из практики. Исходя из этой функции распределения, обычно оценивают истинное значение измеряемой физической величины и разброс, характеризующий плотность группировки из­меренных значений вокруг истинного значения.