2.4. Суммирование погрешностей при прямых измерениях

Погрешность результата измерений, если при его получе­нии были внесены поправки на систематическую составляющую погрешности, складывается из случайной составляющей и неис­ключённой систематической погрешности. ГОСТ 8.207-76 "Пря­мые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработ­ки результатов наблюдений" регламентирует процесс установ­ления границ неисключенной систематической и суммарной погрешности. Рассматривается два случая: во-первых, если одна из составлявших преобладает над другой, то меньшей составля­ющей пренебрегают, и, во-вторых, если составляющие соизмери­мы, то специальным образом учитывается влияние каждой из них на границу суммарной погрешности измерения. Погрешность, возникающая из-за пренебрежения одной из составляющих по­грешности результата измерения при выполнении указанных в ГОСТе условии, не превышает 15%.

В общем случае суммарную погрешность можно рассчиты­вать по формуле:

,

где и - систематическая и случайная составляющие погрешности, - коэффициент Стьюдента, - среднее квадратическое отклонение результата измерений, оценивае­мое по формуле (2.9.).

При определении суммарной погрешности измерений, необхо­димо произвести достаточное количество измерений. Из прак­тики известно следующее правило: число измерений следует увеличивать до тех пор, пока случайная составляющая погреш­ности не будет иметь величину с тем, чтобы уменьшить влияние случайной составляющей погрешности на результат измерений.

2.5. Оценка погрешностей при косвенных измерениях

При косвенном измерении результаты, полученные прямыми измерениями, являются исходными данными для дальнейших вы­числений. Погрешности прямых измерений приводят к тому, что окончательный результат также имеет погрешность. Задача со­стоит в том, чтобы получить опенку результата и погрешности косвенного измерения, имея оценки результата и погрешности прямых измерений каждого из аргументов. Этот вопрос явля­ется частным случаем определения статистических характери­стик функций от случайных величин.

В настоящее время нет универсального способа оценки границ доверительного интервала при заданной надежности для результата косвенных измерений. Даже для оценки границ доверительного интервала разности двух величин в литературе имеются противоречивые рекомендации. Поэтому мы приводим здесь без математического вывода простые методы оценки по­грешностей при косвенных измерениях.

Простейшим уравнением косвенного измерения является , где - известная функция величин , определяемых прямыми методами измерений. Для оценки абсо­лютной погрешности результата косвенных измерений можно воспользоваться формулой:

, (2.11)

где — частные производные функции по переменным соответственно. Частная производная функции многих переменных по одной переменной, скажем , является обычной производной функции по , причем все другие переменные считаются постоянными параметрами. При вычислении числового значения погрешности в выражение (2.11) подставляют значения

Величины входящие в (2.11), обычно измеряют с различной точностью, поэтому они по-разному влияют на по­грешность результата косвенного измерения. Так как в оценке его среднего квадратического отклонения сохраняют не более одной - двух значащих цифр, то малыми частными погрешностя­ми, т.е. отдельными членами вида, например, ( ) можно пренебречь, а также выделить те величины, для которых повы­шение точности прямого измерения существенно улучшает точ­ность результата косвенного измерения.

Относительную погрешность результата косвенных измере­ний можно рассчитать по формуле , подставляя в нее числовые значения и среднее арифметическое значе­ние .

В частности, для случая если , где могут принимать как положительные, так и отрица­тельные значения, то .

Дифференцируя это уравнение, можно получить следующую формулу для расчета относительной погрешности результата:

,

где - относительные погрешности прямых измере­ний.

Общая задача при косвенных измерениях состоит в разра­ботке таких методов, которые обеспечили бы сохранение в допустимых пределах погрешности косвенного измерения. Этого можно достичь в частности, подбором таких значений при которых относительная погрешность не выходит за пределы допустимой, а также разработкой таких методов и средств из­мерений, которые бы обеспечивали прямое измерение вместо косвенного.

Число значащих цифр результата всегда ограничено - оно определяется порядком величины абсолютной погрешности. Естественно, если величина абсолютной погрешности составля­ет сотые доли, т.е. если мы не ручаемся за правильность со­тых долей, то и в результате необходимо оставить только сотые доли, округляя результат, ибо нет смысла сохранять тысячные, если мы не ручаемся за правильность сотых долей. Отметим, что любое округление чисел представляет собой си­стематическую погрешность.

Поэтому все вычисления окончательного результата сле­дует производить с числом значащих цифр, превышающих на единицу число значащих цифр, полученных при измерениях, для последующего округления результата, т. е. при относительной погрешности измерений порядка 1 - 10% расчеты можно прово­дить, пользуясь тремя значащими цифрами. Другими словами, относительная погрешность, получающаяся в результате вычис­лений должна быть примерно на порядок (т.е. в 10 раз) мень­ше погрешности результата косвенных измерений.

Следует отметить, что если косвенные измерения прово­дятся в невоспроизводимых условиях, то значение функции вычисляются для каждого отдельного измерения, а границы доверительного интервала определяют в результате обработки вычисленных результатов косвенных измерений, т. е. самих функций, так же как это делается для прямых измерений.

В заключение отметим, что погрешности результатов кос­венных измерений, подсчитанные по изложенным в этом разделе рекомендациям, носят ориентировочный характер. Они будут оправдываться тем лучше, чем больше число измерений и чем вы точность отдельных измерений. В наиболее ответственных случаях при определении надежности результата косвенных изме­рений необходимо применять распределение вероятности данной конкретной функции случайных величин и обратиться к более сложным разделам математической статистики (дисперсионный анализ, проверка гипотез и др.).