Теория по ОАПЭЦ

постоянными, так и зависимыми от режима, причем характер зависимости может быть различным.

Из приведенных соотношений непосредственно вытекает связь между пара- метрами моделей:

IЭО = (1+1/ β N )ISN ;			IКО = (1+1/ βI )ISI ;
τ N(ПЭМ ) = (1+1/ β N )τ N(ИЭМ ); τ I(ПЭМ ) = (1+1/ βI )τ I(ИЭМ );
IЭО = (1+1/ β N )IТЭ;			IКО = (1+1/ βI )IТК ;
τ N(ПАЭС) = (1+ β N )τ N(ИЭМ ); τ I(ПАЭС) = (1+ βI )τ I(ИЭМ );
ISN = β N IТЭ; ISI = βI IТК ;
τ (ПАЭС) = β	N	τ (ПЭМ ); τ (ПАЭС) = β τ (ПЭМ ).
N		N	I	I I

Проведенный анализ показывает идентичность математических описаний данной группы моделей биполярного транзистора. Отличие моделей заключается в используемом наборе параметров, пересчет которых при постоянных значениях βN

иβI не представляет труда.

Вряде случаев требования к точностным характеристикам при расчете схем вынуждают использовать уточненные, но в то же время более сложные модели.

Компромиссным с точки зрения вычислительных затрат вариантом такой модели служит описанная ниже модификация передаточной модели биполярного транзи- стора.

3.3.2.Полная передаточная модель

Всоответствии с обобщенной формой представления зависимые источни-

ки JЭ и JК эквивалентной схемы (см. рис. 3.3) полной передаточной модели опи- сываются следующими выражениями:

J

= (1+1/

B

T

)I

T

U θ Т

−1) − I

T

U θ T

−1);

Э

SN

(e

Э Э

SI

(e К К

N

J

= (1+1/

T

)I

T

U θ T

−1) − I

T

U θ T

−1).

К

B

SI

(e

К К

SN

(e Э Э

I

В этой записи индекс Т характеризует зависимость параметров от температуры,

а коэффициенты передачи тока

BT

и

BT

учитывают дополнительно зависи-

мость от режима.

N

I

Для описания температурных зависимостей параметров ISNT

и

ISIT можно

использовать выражения

T

3 KЭççæ

1

×1

÷÷ö

T

3 KК

ççæ

1

×

1

÷÷ö

ISNT = ISN êé

úù

e

èç 293T

ø÷ ; ISIT = ISI êé

úù

e

èç 293T

ø÷ ,

ë293

û

ë293

û

где T – абсолютная температура;

ISN , ISI – обратные токи насыщения при Т=293оК; KЭ, KК – коэффициенты, определяемые из измерений.

Температурная зависимость параметров θЭT и θKT описывается формулами

θЭT = θЭ (293/Т); θКT = θК (293/T).

Здесь θЭ = (mЭq)/(K ×293) и θК = (mК q)/(K ×293) – коэффициенты, выражен-

ные через заряд электрона q, постоянную Больцмана К и эмпирические пара- метры mЭ и mК . Коэффициенты θЭ и θК определяются экспериментально.

В полной передаточной модели при учёте зависимости коэффициентов усиления от режима аргументами служат ток, передаваемый из эмиттера в кол- лектор транзистора при нормальном активном режиме работы –

IN = ISNT ( eUЭθЭT -1), и ток, передаваемый из коллектора в эмиттер при инверс-

ном активном режиме работы – II = ISIT (eUКθКT -1) . Полные уравнения коэффи-

циентов усиления, описывающие также зависимость от температуры и учиты- вающие влияние эффекта Эрли, выражаются следующим образом:

BT

= β

N

(I

N

) é1+ k

N

(T - 293)ù -u

К

/V

N

,

N

ë

û

BT

= β

I

(I

I

)

é1+ k

(T - 293)

ù

-u

Э

/V

,

I

ë

I

û

I

где kN ,kI – коэффициенты, получаемые по результатам измерений;

VN ,VI – коэффициенты усиления по напряжениям uК и uЭ соответственно

при нормальном и инверсном режимах и постоянной температуре. Выражения β N (IN ) и β I (II ) удобнее всего задавать кусочно-линейными ап-

проксимирующими зависимостями, определяемыми по результатам измерений:

ì		β0	при	I £ I0;
ï	βi+1	- βi )(I - Ii )
β = íïβi + (			при	Ii < I < Ii+1,i = 0,1,2,...,m;
ï	Ii+1	- Ii
ï		βm	при	I ³ Im.
î

Здесь символами I и β обозначены текущие значения токов IN и II и коэффици- ентов передачи тока βN или βI, а символами Ii и βi – значения указанных токов и коэффициентов передачи в точках излома аппроксимирующих зависимостей.

Емкости p-n-переходов СЭ и СК в полной передаточной модели представ- ляются двумя нелинейными дифференциальными составляющими – барьерной и диффузионной:

C

=

Сбар.эо

+θ NTτ

(I

+ ISNT );

(1

-uЭ /ϕЭ )nЭ

N

N

Э

C

=

Сбар.ко

+θ ITτ

(I

+ IT

),

K

(1-uK /ϕK )nK

I

I

SI

(3.10)

где Сбар.эо,Сбар.ко – барьерные емкости эмиттерного и коллекторного переходов

при нулевых напряжениях; ϕЭ ,ϕК – контактные разности потенциалов для эмиттерного и коллек-

торного переходов;

τN ,τ I – постоянные времени переноса носителей через базу при прямом

иматричной форме

Для построения РИ-модели биполярного транзистора, эквивалентная схе- ма которого изображена на рис. 3.3, запишем токи внутренних узлов и внешних полюсов :

IЭ'	= −ir	− JЭ − iC	− iR = 0;
	Э	Э	Э
IК ' = −irК − JК − iСК − iRК = 0;
Iб'	= −ir + JЭ + JК + iСЭ + iСК + iRЭ + iRК = 0;
	б
IЭ	= irЭ ; IK = irK ; Iб = ir .
			б

(3.11)

Из (3.11) нетрудно получить неопределенную матрицу дифференциаль- ных проводимостей.

Обозначим элементы матрицы Υ через yij = ∂Ii / ∂ϕ j и выразим эти эле-

менты через проводимости, условно обозначенные у1, у2, ..., у9, смысл которых раскрывается ниже:

yЭ'Э' = y1 + y2 + y3; yЭ'К' = − y4; yЭ'б' = − y2 − y3 + y4; yЭ'Э = − y1; yЭ'К = 0; yЭ'б = 0; yК'Э' = − y8; yК'К' = y5 + y6 + y7; yК'б' = − y6 − y7 + y8; yК'Э = 0; yК'К = − y5; yК'б = 0; yб'Э' = y2 + y3 − y4; yб'К' = y6 + y7 − y8; yб'б' = − y2 − y3 + y4 − y6 − y7 + y8 + y9;

yб'Э = 0; yб'К = 0; yб'б = − y9;

yЭЭ' = − y1; yЭК' = 0; yЭб' = 0; yЭЭ = y1; yЭК = 0; yЭб = 0;

yКЭ' = 0; yКК' = − y5; yКб' = 0; yКЭ = 0; yКК = y5; yКб = 0;

yбЭ' = 0; yбК' = 0; yбб' = − y9; yбЭ = 0; yбК = 0; yбб = y9.

Для простейшего случая передаточной модели с постоянными коэф- фициентами βN и βI, постоянными барьерными ёмкостями Cбар.Э и Сбар.К без

учёта влияния температуры и при использовании неявного метода интегрирова- ния первого порядка проводимости y1, y2,...,y9 соответственно равны:

uб′б

0

0

y1 = 1/ rЭ ;

y2 = ISNθЭeuЭθЭ

ì

1

τ N

ü

C

íï1

+

+

êéθ Э (uЭ

-uЭn ) +1úù

ýï

+

бар.Э

;

β

Dt

ï

N

Dt ë

n+1

û

ï

î

þ

y =1/ R ; y

4

= I

SI

θ

K

euKθK ; y =1/ r ;

3

Э

τ I

5

K

C

uKθK

ì

1

é

ù

ü

ï

ï

бар.К

y = I

SI

θ

K

e

í1

+

+

θ

K

(u

K

-u

Kn

) +1

ý

+

;

6

ï

β

ê

n+1

ú

Dt

I

Dt ë

ûï

î

þ

y

=1/ R ; y

= I

SN

θ

Э

euЭθЭ ; y

=1/ r .

7

K

8

9

б

Используя принятые обозначения, можно записать РИ-модель биполярно- го транзистора в форме уравнения (3.2):

é	0	ù	é y		'	'
			ê	Э Э
ê	0	ú	ê y		'	'
ê		ú	ê	К Э
ê	0	ú	ê
ê		ú	ê y		'	'
ê	p+1	ú	= ê	б Э
êI	Э	ú	ê y		ЭЭ'
ê		ú	ê
êI p+1		ú	ê		0
ê	K	ú	ê
êI p+1		ú	ê		0
ë	б	û	ë

y

'

К

'

y '

'

y

'

0

Э

Э б

Э Э

y

'

К

'

y

'

'

0

y

'

К

К

К б

К

y '

К

'

y '

'

0

0

б

б б

0

0

yЭЭ

0

yКК'

0

0

yКК

0

yбб'

0

0

0	ù	é		ù
		êDϕ p+1		ú	é I P		ù
0	ú	ê	Э′	ú
	ú	ê		ú	ê	Э′ ú
	ú	êDϕ p+1		ú	êIКP′ ú
yб'б úú		ê	Кp+′ 1	ú	êê	I P	úú (3.12)
0	ú	´êDϕб′		ú	+ ê	б′	ú.
	ú	ê		ú	ê	I P	ú
	ú	êDϕ p+1		ú		б
0	ú	ê	Э	ú	êê	IКP úú
	ú	êDϕ p+1		ú	ê	I P	ú
		ê	К	ú
yбб ûú		êDϕ p+1		ú	ë	б	û
		ë	б	û

Если полученную РИ-модель непосредственно включить в общую систему уравнений ММС, то последняя расширится за счёт внутренних базисных пере- менных РИ-модели ϕЭ′ ,ϕК′ ,ϕб′ . Чтобы избежать этого, переменные ϕЭ′ ,ϕК′ ,ϕб′

исключаются в программе расчета модели с помощью процедуры LU- разложения. В результате получим

				éuЭ′Э′
				ê
	éI p+1		ù	êlК′Э′
				ê lб′Э′
	ê	Э	ú
	êI p+1		ú	= ê	l
	ê	K	ú	ê
					ЭЭ′
	êIбp+1		ú	ê	0
	ë		û	ê
				ê	0
				ê
				ë

uЭ′К′ uК′К′ lК′Э′

lЭ′К′

lКК′

0

uЭ′б′ uК′б′ uб′б′

lЭб′ lКб′ lбб′

uЭ′Э uК′Э uб′Э

éê yЭЭ(3) ê yКЭ(3)

ê y(3)

ê

ë бЭ

0

uК′К uб′К′ yЭК(3) yКК(3) yбК(3)

ù

ú

ú

ú

y(3) ùú ´

Эб úú yКб(3) úúú

y(3) úú

úú

бб ûû

	éDϕЭp′+1			ù		é	IЭp′
	ê		′+1	ú		ê
	êDϕКp			ú		ê IКp′(1)
	ê		+1	ú		ê
	êDϕ p			ú		êI p(2)
	ë	б′		û	+	ë	б′
	éDϕЭp+1			ù		éIЭp′(3)
	ê		+1	ú		ê
	êDϕКp			ú		êIКp(3)′
	ê		+1	ú		ê
	êDϕ p			ú		êI p(3)
	ë	б		û		ë	б′

ù

ú

ú

ú

ú

ùû . (3.13)

ú

ú

ú

ú

û

Здесь индексы в скобках (1), (2), (3) обозначают номера шагов исключения. После этой процедуры, соответствующей прямому ходу исключения, ре-

зультирующая трёхполюсная РИ-модель, выделенная в (3.13) прямыми скобка- ми, включается в систему ММС по правилу позиционного суммирования. Оп- ределение новых значений внутренних переменных ϕЭp'+1,ϕКp+' 1,ϕбp'+1, выраженных

через значения ϕЭp'+1, ϕКp+' 1, ϕбp'+1, осуществляется по формулам обратного хода. Для этого в программе расчёта модели необходимо организовать запоми-

нание элементов uij и значений IЭp', IКp(1)' , Iбp'(2) .

Таким образом, в общем случае вычисления на (p+1)-м итерационном шаге по РИ-модели транзистора, содержащей внутренние базисные перемен- ные, состоят из следующих этапов:

1)определение по известным внешним переменным и формулам обрат- ного хода внутренних переменных, соответствующих р-му шагу итераций;

2)вычисление вкладов EC реактивных составляющих модели (3.7), обу- словленных используемым методом численного интегрирования;

3)вычисление матрицы Υ и вектора I p РИ-модели (3.12) по заданным ис- ходным выражениям (3.11) и их производным;

4)преобразование матрицы Y и вектора I p по формулам прямого хода метода исключения внутренних переменных к виду (3.13);

5)включение методом позиционного суммирования преобразованных

матрицы Y и вектора I p в общую систему уравнений схемы.

В рассматриваемой процедуре в случае необходимости после этапа 1 можно организовать контроль на сходимость по норме поправок ∆φ, а после этапа 3 – по норме невязок I, хотя контроль по невязкам необязателен, так как сходимость ньютоновских итераций по внешним переменным модели при рас- чете схемы, как правило, гарантирует сходимость по внутренним переменным.

Очевидно, что этапы 1, 2, 4 и 5 могут быть запрограммированы в виде стандартных процедур, которые пригодны для использования в моделях любых элементов. Вычисления на этапе 3 уникальны для каждого типа элемента и по- этому требуют составления собственной программы.

3.4. Модель МДП-транзистора

Анализ различных МДП-транзисторов показывает, что удовлетворительные результаты по точности моделирования, удобству включения в программу и за- тратам машинного времени на вычисления дает модификация статической мо- дели Хофстайна. Эта модель позволяет рассматривать МДП-транзистор как четы- рехполюсник, содержащий между полюсами стока и истока зависимый источник тока. Дополняя четырехполюсник паразитными емкостями, присущими физической структуре транзистора (рис. 3.4, а), и сопротивлениями, моделирующими утечки, получаем динамическую модель МДП-транзистора (рис. 3.4, б).

					Iз
					З
Исток	Затвор		Сток
			Сзп	Сзи			Сзс
			iСзп	iСзи	JС		iСзс
	Сзи	Сзс	Iи				Iс
			И	Сип			С
		Сзп			Rип	Rсп	Сcп
	С		Сcп	iСип			iСсп
					iRип	iRсп

ип

	а	б

Рис. 3.4. МДП-транзистор:

а – физическая структура; б– эквивалентная схема динамической модели

Зависимый источник тока JC описывается кусочно-нелинейной функцией

потенциалов полюсов транзистора ϕИ ,ϕС ,ϕЗ ,ϕП :

ì

é

2

ù

при

ü

ï-Aβ ë(ϕЗ -ϕИ -uЭФ )(ϕС -ϕИ ) -(ϕС -ϕИ )

/ 2û

ϕС

<

UНАС

ï

JC = í

-ϕ

-u

)2

/ 2 при

ϕ

³

U

;

ý

ï-Aβ (ϕ

З

И

ЭФ

С

НАС

ï

î

þ

β = με Дω /(Lx0 ); uЭФ =U0 + K(A(ϕИ -ϕ П ) + 2ϕF - 2ϕF );

K = (x0 /ε П )2ε П qN ; UНАС = A(ϕЗ -ϕИ ) -uЭФ ,

где μ – эффективная подвижность носителей в канале; εД – диэлектрическая проницаемость окисла;

х0 – толщина окисла под затвором;

L – длина канала; ω –ширина канала;

U0 – пороговое напряжение;

φF – уровень Ферми;

εП – диэлектрическая проницаемость полупроводника;

q – заряд электрона;

N – концентрация примесей в подложке;

А – коэффициент, определяющий тип транзистора (А=–1 – транзистор с р- каналом, А=1 – транзистор с n-каналом).

Емкости модели МДП-транзистора могут быть достаточно просто выра- жены через конструктивно-технологические параметры полупроводниковой струк- туры. Емкости перекрытия СЗИ и СЗС определяются через удельную емкость тонко- го окисла С0 и геометрические размеры областей: CЗИ = CЗС = С0ωlП, где lП –

длина перекрытия.

Емкости обратносмещенных р-n-переходов областей истока и стока в общем случае нелинейны и описываются зависимостью, аналогичной барьерной состав- ляющей емкостей переходов биполярного транзистора (3.10). В упрощенном

варианте их можно считать постоянными: СИП = Сp-nSИП, СCП = Сp-nSCП, где Сp-n

– удельная емкость р-n-перехода, СИП и СCП – площади областей истока и стока. Ёмкость СЗП зависит от суммарной емкости канала транзистора, равной СK = C0ωL. В общем случае емкость СK нелинейна и в зависимости от режима

транзистора перераспределяется между емкостями СЗП , С'ЗИ , С'ЗС , при этом две

последние емкости следует рассматривать как дополнительные слагаемые емкостей

СЗИ и СЗС .

Иногда используется усреднение емкостей транзистора по режимам:

С'

ЗИ = 0,

С'

ЗС = 0, СЗП = СK

в режиме отсечки;

ЗИ = 0,6 СK,

ЗС = 0,3 СK, СЗП = 0

в крутой области ;

С'

С'

С'

ЗИ = 0,7 СK,

С'

ЗС = 0, СЗП = 0

в пологой области.

Исходные уравнения модели, определяющие полюсные токи транзистора, лег-

ко составить на основании обозначений токов, принятых на рис. 3.4, б:

IC

= iC

− iС

ЗС

− JС

+ iR

;

СП

СП

IЗ

= iС

ЗИ

+iС

ЗП

+iС

; IИ

= iC

-iC

ЗИ

+ JC +iR

;

ЗС

ИП

ИП

IП = -iС

-iС

-iС

-iR

-iR .

ИП

ЗП

СП

СП

ИП

Из исходных уравнений нетрудно получить РИ-модель МДП-транзистора в

виде

é	I	p+1	ù		é y
ê		C	ú		СС
					êê yЗС
êI p+1			ú	=
ê		З	ú		êê yИС
êI		Иp+1	ú
ê			ú		ëê yПС
ëIПp+1			û

y		y		y		ù	éDϕ P+1		ù	éI p ù
СЗ		СИ		СП		ú	ê	С	ú	ê С	ú
y	ЗЗ	y	ЗИ	y	ЗП	ú	êDϕ P+1		ú	êI p ú
						ú	´ê	З	ú	+ ê З	ú.
yИЗ		yИИ		yИП ú			êDϕИP+1		ú	êIИp	ú
yПЗ		yПИ		yПП ûú			ê		ú	ëêIПp ûú
							ëDϕПP+1		û

Для случая постоянных емкостей модели и при использовании неявного метода интегрирования первого порядка составляющие матрицы неопределенных проводи-

мостей PИ-модели определяются следующим образом:

y = CЗС + ССП +

1

+ y ; y = -

СЗC + y

;

СС

t

UСП

1

СЗ

Dt

2

y

=

у

; y

= - ССП -

1

+ y

; y

ЗС

= - СЗС ;

CИ

З

СП

t

UСП

4

t

yЗЗ = СЗИ + CЗП + СЗС ; yЗИ = - СЗИ

; yЗП = - СЗП

;

t

t

t

y

ИС

= -y ; y

ИЗ

= -

СЗИ - y

; y

ИИ

= CЗИ + СИП +

1

- y ;

1

t

2

t

UИП

3

y

ИП

= СИП

+

1

- y

; y

= - ССП -

1

;

t

UИП

4

СП

t

UСП

yПЗ = - СЗ

; yПИ

= - СПИ

-

1

; yПП = ССП +СЗП +СИП +

1

+

1

;

t

t

UИП

t

UСП

UИП

ì

β éUНАС - А(ϕС -ϕ И )ù

при

ϕС

<

UНАС

;

ï

y1 =

í

ë

при

ϕС

³

UНАС

;

û

ï0

î

ì

β А(ϕ

С

-ϕ

И

)

при

ϕ

С

<

U

НАС

;

y2

ï

= í

βUНАС

при

ϕС

³

UНАС

;

ï

î

	ì	é
	ï-β êUНАС -
	ï	ê
y3	ï	ë
	= í	é
	ï
	ï-β êUНАС -
	ï	ê
	î	ë

АК (ϕС -ϕИ )

ù

ϕС

ú

при

<

UНАС

;

2

А(ϕ

-ϕ

) + 2ϕ

И

П

ú

F û

АКUНАС

ù

ϕС

ú

при

³

UНАС

;

2

А(ϕ

-ϕ

) + 2ϕ

И

П

ú

F û

y4 = − y1 − y2 − y3.

3.5. Модели распределенных RC- и RLC-структур

Математическим описанием элементов, параметры которых имеют распре- деленный характер, служат дифференциальные уравнения в частных производных. Это обстоятельство создает определенные трудности при построении моделей рас- пределенных элементов, так как используемые в программах АПЭЦ математиче-

ские модели базируются на методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений. В связи с этим опишем алгоритмы представления моделей распреде- ленных элементов в виде РИ-моделей многополюсников, в которых локализует- ся решение уравнений в частных производных.

Прежде чем перейти к способам представления моделей, рассмотрим математи- ческое описание неоднородных структур RC- и RLC-типа.

3.5.1. Исходные уравнения элементов с распределенными параметрами

Различают два основных типа распределенных RС-элементов: R-C-NR- и C-R-NC-структуры (рис. 3.5). Учитывая свойство дуальности этих структур, в дальнейшем будем рассматривать только структуры типа R–C–NR. Уравнения этой структуры записываются следующим образом:

∂u	= -r(x)éi		(x,t) - Ni			(x,t)ù;	(3.14)
¶x		ë R		NR		û
∂iR = −		∂iNR = −C(x)		∂u	,
∂x		∂x		∂t

(3.15)

где r(x) и С(х) – соответственно погонные сопротивления и емкость, приходящиеся на единицу длины структуры l.

Ia	R	Ic
a	С	с
Ib		Id
b	nR	d

uC(x,t)

С R

NС

r(x)

x

r(x+

x)

x

ir(x,t)

ir(x+

x,t)

С(x)

x

С(x+

x)

x

i(x,t)

u(x,t)

u(x+ x,t)

nr(x)

x

nr(x+

x)

x

а

inr(x,t)

inr(x+

x,t)

iC(x,t)

iC(x+

x,t)

С(x)

x

uC(x+

x,t)

С(x+

x) x

ir(x,t)

ir(x+ x,t)

r(x)

x

r(x+

x) x

NС(x)

x

uNC(x+

x,t)

NС(x+ x) x

iNC(x,t)

iNC(x+ x,t)

б

Рис. 3.5. Распределенные RC-структуры:

а– условное обозначение и эквивалентная схема R-C-NR-структуры;

б– условное обозначение и эквивалентная схема С-R-NC-структуры

Дифференцируя (3.14) по х и подставляя результат в (3.15), лучить основное уравнение R-C-NR-структуры

	∂ 2u	− σ (x)	∂u	− μ (x)	∂u	= 0
	∂x2		∂x		∂t

с граничными и начальными условиями

нетрудно по-

(3.16)

u(0,t) = Ф(i), u(l,i) =Ψ (t), u(x,0) = u0 (x).

(3.17)

Коэффициенты уравнения σ(х) и μ(x), характеризующие неоднородность струк- туры, определяются через погонные параметры:

	σ (x) =	1	∂r(x)	; μ (x) = (N +1)r(x)C(x).
		r(x) ∂x

Уравнение (3.16) является уравнением параболического типа, решение

которого совместно с заданными граничными и начальными условиями представляет собой краевую задачу первого рода.

Уравнение, описывающее RLC-структуру – неоднородную двухпровод- ную линию с потерями (рис. 3.6, а) через первичные погонные параметры L(x),

С(х), r(х) и g(x), можно получить из эквивалентной схемы элементарной ячейки

(рис. 3.6, б):

−

∂u

= r(x) (i − i ) +

L(x)

∂(i1

− i2 )

;

∂x

2

1

2

2

∂t

(3.18)

∂i1

= ∂i2

∂u .

−

= g(x)u + C(x)

(3.19)

∂x

∂x

∂t

i1(x,t)

r(x)

Ia

i1(x,t)

I

x

L(x)

x

a

с

c

С(x) x

g(x)

x

2

2

r(x)

x

L(x)

i(x,t)

u(x,t)

2

x

b

i2(x,t)

d

Ib

Id

2

i2(x,t)

а

б

Рис. 3.6. Распределенная RLC-структура:

а – условное обозначение; б – эквивалентная схема

Объединяя (3.18) и (3.19), нетрудно выразить основное уравнение распре-

деленной линии:

∂

2u

∂u

∂2u

∂u

− σ (x)

− μ (x)

− ε (x)

−η (x)u = 0

(3.20)

∂x2

∂x

∂t

2

∂t

с граничными и начальными условиями (3.17). Коэффициенты уравнения (3.20) для однородной линии с потерями (R не равно 0, G не равно 0) определяются через полные параметры R, G, L, С:

σ = 0, μ = LC, ε = LC + LG, η = RG.

Для неоднородной линии без потерь (r(x)=0, g(x)=0 )

σ (x) = (1/ L(x))(dL(x)/ dx); μ (x) = L(x)C(x), ε (x) = 0, η (x) = 0.

Уравнение (3.20) представляет собой уравнение в частных производных гиперболического типа, решение которого так же, как и для R-С-NR-структур, сво- дится к краевой задаче первого рода.

Учитывая, что рассматриваемые элементы с распределёнными параметрами являются линейными и инерционными, будем строить разностные (Р) модели этих элементов в форме (3.3). Чтобы получить матричное уравнение (3.3) Р-модели элемента, необходимо явно выразить связь между полюсными токами и напряже- ниями элемента, причем при построении модели в базисе узловых потенциалов аргу- ментами должны быть напряжения. Полюсные токи RC- и RLC-структур, как следует из (3.14) и (3.18), можно выразить через значения производных на кон-

цах структур: дu/дх|x=0 и дu/дx|x=1.

Значения этих производных в свою очередь могут быть вычислены в ре- зультате численного решения уравнений (3.16) и (3.20) и являются функциями