Теория по ОАПЭЦ

заданных в форме (3.17) граничных условий, т.е. напряжений между полюсами. Ниже показано, что производные дu/дх|x=0 и дu/дx|x=1 на каждом временном шаге численного решения уравнений (3.16) и (3.20) приближённо выражаются в виде линейной комбинации граничных условий Ф(t) и ψ(t):

∂u

≈ u

= Tϕ (t

n+1

) − PФ(t

) + E(t ,t

n−1

);

∂x

x=0

x

x=0

n+1

n

∂u

≈ u

= Tϕ (t

) − KФ(t

n+1

) + F(t

n

,t

n−1

).

∂x

x=l

x

x=l

n+1

(3.21)

С помощью (3.21) можно получить из исходного описания распреде- ленных структур их Р-модели.

3.5.2. Разностная модель двухпроводной линии

Рассмотрим методику составления Р-модели для однородной линии с потерями. Пусть полюсные токи линии имеют направления, показанные на рис. 3.6, а. Для

формирования искомой модели нам необходимо связать полюсные токи Ia, Ib,

Ic, Id с напряжениями между полюсами uab, ubd, uac, ucd. Из (3.19) очевидно, что

сумма токов i1(x,t) и i2(x,t) не зависит от координаты x и определяется внешними

напряжениями uac и ubd , откуда следует справедливость выражения

	R	(i − i ) +	L		∂(i1 − i2 )	= u	+ u ,	(3.22)
	2		2		∂t
		1 2				ac	bd

где R и L – полные сопротивления и индуктивность линии. Полагая длину ли- нии l равной единице, получаем, что значения погонных параметров R, L, G, С равны значениям полных параметров линии. Подставим в (3.18) и (3.22) токи Ia = i1(0,t), Ib = i2 (0,t), Ic = −i1(l,t), Id = −i2 (l,t) и их производные по времени:

R

(Ia − Ib) +

L

(I&a − I&b ) = −

∂u

;

R

(Id

− Ic ) +

L

(I&d

− I&c ) = −

∂u

;

2

∂x

x=0

2

∂x

x=l

2

2

(3.23)

R

(Ia + Ib) +

L

(I&a + I&b ) = uac + ubd ;

R

(Id

− Ic ) +

L

(I&d

− I&c ) = −uac − ubd .

2

2

2

2

Здесь I& означает производную по времени dI/dt. Предположим, что в качестве метода интегрирования в уравнении ММС выбран неявный метод первого порядка, тогда производные в (3.23) можно заменить следующими разностными эквива- лентами: I& ≈ ∆I/∆t, ∂ u/∂ x ≈ ∆u/∆x. При этих условиях, учитывая (3.21), получаем систему уравнений, связывающую полюсные токи и напряжения линии, решение ко- торой относительно вектора полюсных токов дает искомую Ρ-модель однородной

двухпроводной линии в виде (3.24), где Ia*, Ib*, Ic*, Id*– полюсные токи в мо-

мент времени t–∆t. Данная Ρ-модель характеризует состояние двухпроводной линии на некотором (n+1)-м шаге численного интегрирования уравнения

(3.20):

éIa ù êê Ib úú = êê Ic úú êëId úû

1

R + Lt

é P +1 1- P -T -1
ê	1- P P +1 T -1
ê
ê
ê-K -1 K -1 H +1
ë	K -1 -K -1 1- H

T -1 ù		éϕa ù
-T -1ú		êêϕb úú
1- H	ú	× ê ú +
	ú	êϕc ú
H +1	ú	ëêϕd ûú
	û

	L				êéIa*		úù
				ê		*	ú	1
	t				êêIb		úú +
			L						L
R +					êI	*	ú	R +
									t
			t ê			c	ú
					ëêId*		ûú

é-Eù
ê	E	ú	. (3.24)
ê		ú
ê		ú
ê-F		ú
ë	F	û

Рассмотренная методика легко распространяется на случай неоднородной линии. При этом достаточно постоянные погонные параметры в (3.23) заменить погонными параметрами на концах неоднородной линии. Так, Р-модель неод- нородной линии без потерь имеет следующий вид:

éIa ù êê Ib úú = êê Ic úú êëId úû

Dt L

éê Pc1 +1 ê 1- Pc1 êê-Kc2 -1 êë Kc2 -1

1- P

-T

-1 T -1

ù

éϕa ù

é

*

ù

c1

c1

c1

êIa

ú

P +1

T -1 -T -1ú

êϕ

ú

êI

*

ú

+

t

1

1

1

ú ´ ê b ú

+ ê

b

ú

c

c

c

ú

K

c

-1 H

c

+1 1- H

c

ú

êϕ

c

ú

ê I

*

ú

L

êϕ

2

2

2

ú

ú

ê *c

ú

-Kc

-1 1- Hc

Hc +1

ê

ú

I

ë d û

ê

ú

2

2

2

û

ë d

û

é-E ù
ê	E	ú		(3.25)
ê		ú	,
ê	-F	ú
ê		ú
ë	F	û

где L – полная индуктивность линии;

с1=L/L(0), c2=L/L(l) – коэффициенты, характеризующие неоднородность;

L(0), L(l) – погонные индуктивности на концах неоднородной линии.

3.5.3. Определение коэффициентов моделей

Как было сказано выше, коэффициенты Т, Р, H, К, входящие в состав неоп- ределенных матриц проводимостей P-моделей, и величины Ε и F вычисляются в результате численного интегрирования уравнений (3.16) и (3.20). В данном случае для решения используется неявная разностная схема, при которой произ- водные аппроксимируются конечно-разностными выражениями :

∂u	≈ u(x + x,t + t) − u(x − x,t + t) ;
∂x	2 x
∂ 2u ≈ u(x + x,t + t) − 2u(x,t + t) + u(x − x,t + t)			;
∂x2		x2
∂u	≈ u(x,t + t) − u(x,t)	;
∂t	t
∂ 2u ≈ u(x,t + t) − 2u(x,t) + u(x,t − t).
∂t2	t2
Результирующее разностное уравнение, аппроксимирующее уравнения
(3.16) и (3.20), имеет вид

Amumn+−11 − 2Bmumn+1 + Cmumn++11 + Dm = 0.

(3.26)

Здесь индексы m и n определяют положение сеточной функции umn в узлах раз-

ностной сетки, причем индекс т отражает изменение сеточной функции по коор- динате x (m = 0,1,2,…,М), а индекс n – по координате t (n = 1,2,…). Граничные и начальные условия (3.17) также аппроксимируются на разностной сетке:

u(0,t) ≈ un+1

= ϕ n+1, u(l,t) ≈ un+1 = ϕ n+1, u( х,о) ≈ um0.

0

l

Таблица 3.2

Коэффициент

R-C-NR-структуры

Неоднородная распреде-

лённая линия без потерь

Am

1

1

2 t + x2μ (x )

2 t2 + x2μ (x )

Bm

m

m

t[2 + xσ (xm )]

t2 [2 + xσ (xm )]

Cm

2 − xσ (xm )

2 − xσ (xm )

2 + xσ (xm )

2 + xσ (xm )

2 x2μ (x

)

n

2

x2μ (x

)

n

n−1

m

m

Dm

um

(2um

− um

)

t[2 + xσ (xm )]

t2 [

2 + xσ (xm )]

Коэффициенты уравнения (3.26) выражаются по-разному для распреде- ленных структур разных типов. В табл. 3.2 приведены значения этих коэффици- ентов для R-С-NR-структуры и двухпроводной линии, выраженные через коэффици-

енты уравнений (3.16) и (3.20).

Можно показать, что используемая для решения (3.16) и (3.20) неявная разностная схема удовлетворяет спектральному критерию устойчивости Нейма-

на и позволяет получить решение при любом соотношении шагов ∆х и ∆t.

Наиболее эффективным методом решения разностного уравнения (3.26) является метод прогонки. В соответствии с этим методом решение отыскивается в два этапа. На первом вычисляются коэффициенты прямой прогонки am и bm по ре-

куррентным формулам	:
	Cm /(2Bm − am−1),			a1 = C1 /(2b1),
am =
b = a (b			+ D )/C , b = a (Фn+1		+ D )/C .
m m		m−1	m m	1 1	1 1
(3.27)

Далее с помощью коэффициентов аm, bm при известном правом граничном ус- ловии ψn+1 определяется решение (3.26) (обратная прогонка):

un+1	= ϕ n+1,	un+1	= a	un+1	+ b		,...
M		M −1		M −1 M	M −1
un+1	= a un+1	+ b ,...,un+1 = a un+1				+ b .
m	m m+1	m		1	1 2		1
	(3.28)

Если теперь аппроксимировать производные на краях линии в виде

∂u

≈

un+1

− Фn+1

∂u

≈

ϕ n+1

− un+1

∂x

1

,

∂x

M −1

,

x

x

x=0

x=l

то с помощью формул прямой и обратной прогонки можно доказать справедли- вость соотношений (3.21) и определить значения входящих в их состав коэффи-

циентов.

В общем случае коэффициенты Т, Р, Н, К неопределенных матриц проводи- мостей, а также коэффициенты Ε и F, характеризующие состояние распреде- ленной структуры на предыдущих шагах численного интегрирования, вычисляют-

ся по следующим формулам:

1

M −1

æ

M −1

am

m−1

2

ö

T =

Õ a

; P =

1

ç1

-

å

Õ

ak

÷

;

x k=1

k

x ç

m=1 C

m

k=1 C

÷

è

k

ø

H =

1

(1- aM −1); K =

1

M −1

ak

;

(3.29)

Õ

x

x k=1

Ck

1

M −1

M −1 i

i

−1

1

M −1

M −1

E =

å

D

å Õ

ak

Õ a

; F =

å

D

Õ

ak

.

x m=1

m i=m k=m C

p=1

p

x m=1

m k=m C

k

k

Отметим особенности коэффициентов Τ, Ρ, Η и К. Если исследуемая рас- пределенная цепь однородная, то коэффициент σ в (3.16) и (3.20) равен нулю, а коэффициент μ не зависит от координаты х. При этом коэффициенты разност- ного уравнения (3.26) А, B и С будут постоянными в узлах одного слоя разност- ной сетки. Сравнивая коэффициенты K и T для случая однородной цепи, легко

видеть, что они равны между собой:

K = T =				1 ∏ a .
						M −1
						k=1	k
					x				P:
Можно показать, что при этом будут равны и коэффициенты H и
H = P =		1			(1- a		M −1	).
			x

Точность приведенных моделей распределенных структур определяется числом точек разбиения М по длине структуры и значением шага интегрирова- ния ∆t, и поэтому может быть произвольно высокой. Затраты машинного вре- мени на вычисления по моделям пропорциональны М, что существенно мень- ше, чем при моделировании конечным числом ячеек с сосредоточенными эле- ментами. Рассмотренный метод построения P-моделей распределенных струк- тур легко обобщается на случай анализа схем в частотной области, при этом

разностные уравнения составляются только для пространственной координаты

х.

3.6. Модели элементов и функциональных узлов в виде эквивалентных схем

Каждая программа АПЭЦ предназначена для расчета схем с ограниченным набором элементов, модели которых имеются в библиотеке программы. Для расчета

схем с другими элементами программа должна содержать набор моделей простейших компонентов, с помощью которых можно было бы конструировать эквивалентные схемы отсутствующих в библиотеке элементов. Ниже рассматриваются базовый

набор моделей простейших компонентов и способы формирования с его помощью различных моделей.

3.6.1.Модели зависимых источников

Взадачах АПЭЦ могут использоваться зависимые источники четырех ти-

пов– источники тока или напряжения, управляемые током или напряжением. Для реализации всех типов управляемых источников в программах применяются раз- личные способы, связанные с использованием гибридного базиса, расширением или модификацией однородного базиса. Представление моделей в рассмотренных ба- зисах по сравнению c моделированием в классическом однородном, например уз- ловом, базисе сопряжено, во-первых, с расширением числа базисных переменных и, во-вторых, с усложнением процедуры формирования ММС. В связи с этим целесо- образно рассмотреть возможность моделирования указанных типов управляемых ис- точников в однородном узловом координатном базисе. Чтобы получить такую воз- можность, введем допущение о неидеальности моделируемых источников, которое позволяет моделировать схемы с любыми реальными элементами, встречающими- ся в задачах АПЭЦ.

В общем случае зависимые источники J1 и E1 (рис 3.7) могут быть функ-

циями тока i2 или напряжения u2 любого двухполюсного элемента, представленно- го на рисунке обобщенной управляющей ветвью. Легко заметить, что в форме обоб- щенной ветви представимы PИ-модели рассмотренных двухполюсных элемен- тов, и поэтому управляющее воздействие i2 или u2 может принадлежать как безынер-

ционным, так и инерционным линейным или нелинейным элементам.

Рассмотрим зависимые источники следующего вида:

1) J1 = f(u2 ); 2) E1 = f(u2 ); 3) J1 = f(i2 ), 4) E1 = f(i2 ).

(3.30)
Обобщенная		Зависимые источники
управляющая	ветвь
n		m		m
i2		i1		i1
E2		E1
u2	J2	u2	u2	J1	Y1
Y2		Y1
k		l		l

Рис. 3.7. Представление зависимых источников в узловом, координатном базисе Для узлового метода наиболее удобна первая форма представления, поэтому

будем искать обобщенную модель зависимого источника в виде зависимости тока от напряжения. Для этого выразим токи управляемых ветвей через напряжения u1:

i1 = J1 − y1u1 или i1 = y1( E1 − u1 ),

(3.31)

а ток управляющей ветви – через напряжение u2:

i2 = y2( E2 − u2 ) + J2.

(3.32)

Подставляя (3.30) в (3.31) и (3.32), а затем результат – в (3.31), получаем токи i1 как функции u1 и u2 для всех четырех типов зависимых источников:

1) i1 = f (u2 ) − y1u1; 2 ) i1 = y1[ f (u2 ) − u1];																	) - u ]. (3.33)
3) i	= f ( y	2	( E	- u	2	) + J	2	) - y u ;	4 ) i	= y [ f ( y	2	( E	- u	2	) + J	2
1			2					1 1	1	1		2					1

Используя линеаризацию (3.33) в окрестности точек up2 и up1 , как в РИ- модели (3.2), можно получить обобщенную итерационную модель зависимого источника в следующем виде:

i p+1	= y u p+1	− y u p+1		+ i p.
1	2	1	1	1

(3.34)

Составляющие этой модели у и i1p для каждого типа источника соответст- венно равны:

1) y =

¶J1

, i1p = J1 (u2p ) - y1u1p;

¶u2

u =up

2

2

2) y =

¶E

y1,

i1p = y1 ëéE1 (u2p ) -u1p ûù;

¶u21

u =up

2

2

3) y =

¶J1

y2,

i1p = J1 (i p ) - y1u1p;

(3.35)

¶i2

i

=ip

2

2

¶E1

p

p

p

4) y =

y1y2, i1

= y1 ëéE1 (i2

) -u1

ûù.

¶i2

i =ip

2

2

С учетом обозначений полюсов на рис. 3.7 запишем матричную форму представления модели (3.34) в узловом базисе:

éi p+1ù ê 1,l ú = êi p+1ú ë 1,m û

é-		1 1	ù éDϕ p+1		ù	+ y	é	1
y ê			ú ê	k	ú		ê
ê	1 -1ú ê			p+1	ú	1	ê	-1
ë			û ëDϕn		û		ë

(3.36)

- ù	é	Dϕ	p+1	ù	é	p	ù
	ê			ú	+ ê	i1	ú.
1ú		l
1 ú	ê		p+1	ú	ê	-i p ú
û	ëDϕm			û	ë	1	û

Места включения проводимостей этой модели в общую матрицу узловых проводимостей ММС показаны на рис. 3.8. Очевидно, что модель зависимого источника может иметь произвольное количество управляющих воздействий.

		l	m	k	n
	é	|	|	|	|	ù
l	ê	— y — y — — y — y —ú
	ê	1	1	|	|	ú
	ê	|	|			ú
m	ê	— y — y — — y — y —ú
	ê	1	1	|	|	ú
	ê	|	|			ú

Z

Z´´

xП x

Z´

Рис. 3.8. Иллюстрация вклада РИ-модели	Рис. 3.9. Характеристика линейно
источника в структуру матрицы ММС	зависимого источника
	с ограничением

В этом случае в правой части (3.36) появляются дополнительные слагаемые, аналогичные первому, а в строках l и m матрицы, изображенной на рис. 3.8, – соответствующие им проводимости.

Структура модели в форме (3.36) позволяет строить модели источников с несколькими разнотипными управляющими воздействиями. Простейшими при- мерами могут служить модель линейно зависимого источника, имеющего n управляющих воздействий:

							n
				Z = å k j xj ,
							j=1
(3.37)
и модель линейно зависимого источника с ограничением:
n		(x		- x );
Y −1 = Z¢¢+ å k	j		j
j=1						n
				ì	Z	′′	′′
							при Y ³ Z ,
	Z = íïY						при Z¢ < Y < Z¢¢.
				ïïZ¢			при Y £ Z¢
				î

(3.38)

Здесь хП – пороговое значение аргумента, а Z' и Z" – ограничивающие уровни. Возможный вид зависимости (3.38) для одного аргумента показан на рис. 3.9.

Включив модели (3.37), (3.38) в состав библиотеки моделей программы АПЭЦ в качестве базовых, можно на их основе строить эквивалентные линеари- зованные схемы любых элементов и функциональных узлов, модели или мак- ромодели которых отсутствуют в программе.

3.6.2. Модель трансформатора

Для построения общей модели трансформатора возьмем за основу матема- тическое описание эквивалентного тороидального трансформатора, сердечник ко- торого имеет сечение S и длину средней линии l. Пусть число обмоток транс- форматора равно q. Напряжение на k-й обмотке трансформатора записывается в виде функции тока ik и среднего значения индукции В в сечении этой обмотки, т.е.

u	k	= r i	+ L	dik	+ω	k	S dB	, k =1,2,...,q,
		k k	k	dt			dt
		(3.39)

где rк и Lk – омическое сопротивление и индуктивность обмотки; ωk – число витков обмотки.

Индукция В является сложной нелинейной функцией напряженности магнитно-

го поля H и в общем случае может быть задана дифференциальными уравнениями

dBdt = μ (H ) dHdt + A(H ) ,

или

(3.40)

dBdt = μ (B) dHdt + A(B).

Конкретная форма (3.40) различается для разных типов трансформаторов и учитывает возможные варианты гистерезисной зависимости В от H. Для линейного случая уравнения (3.40) значительно упрощаются и сводятся к одному уравне-

нию

dBdt = μ dHdt ,

(3.41)

где μ – магнитная проницаемость материала.

Напряженность магнитного поля в сердечнике слагается из составляющих Нk, определяемых вкладом каждой обмотки, и может быть выражена через токи

обмоток:

q

H = å

k = 1

H	= å ωk i .
	q
k				k
	k =	1	l

(3.42)

Таким образом, уравнения (3.39) – (3.42) образуют исходное математиче- ское описание многообмоточного трансформатора. Для формирования программ- ной модели трансформатора обычно выражают В и H через базисные переменные, например через ток, с помощью (3.42). Однако такой подход требует сложных преобразований и делает модель чрезвычайно громоздкой.

Более простой способ формирования модели заключается в замене В допол- нительной базисной переменной, а H – дополнительной дуальной в принятом базисе переменной. Для этого способа при моделировании в узловом базисе удобно В заменить потенциалом φF некоторого дополнительного узла схемы, тогда H за- меняется током IF, вытекающим из этого узла.

IA

ϕA

ϕD ID

Lk

ϕF

ik

ωk

rk

J

Bk

=

i

С=1

IF

+

I

k

+

EС=ϕF

F

Ek=ωkSiC

iC

–

–

&

ϕF = μIF + A

IB

&

ϕB

обмотки

Модель сердечника

Модель m-й oбмотки

Модель k-й

Рис 3.10. Эквивалентная схема многообмоточного трансформатора

С учетом принятой замены переменных модель трансформатора можно пред- ставить в виде эквивалентной схемы (рис. 3.10), содержащей линейные элемен- ты, линейные зависимые источники и нелинейный элемент Р, моделирующий сердечник и описываемый уравнением вида (3.40). Элементы эквивалентной схемы, имеющие один заземленный полюс, фактически являются однополюс- никами.

Прокомментируем элементы эквивалентной схемы. Зависимый источник Е эквивалентен последнему слагаемому в правой части уравнения (3.39), опре- деляющему наведенное напряжение в k-й обмотке. Сопротивление rk можно считать внутренним сопротивлением источника Ек в соответствии с представ-

лением модели зависимого источника напряжения (см. рис. 3.7). Управляющим воздействием источника Ek служит ток ic, формируемый в единичной емкости С. Так как напряжение на емкости численно равно потенциалу φF, то ic=dφF/dt, откуда с учетом замены φF = В вытекает тождественность цепи Lk,, rk, Ек урав-

нению (3.39).

Зависимый источник тока JBk, содержащий k-е слагаемое выражения (3.42), определяет вклад k-й обмотки в общее значение напряженности магнит- ного поля (IF = H), что обеспечивается соединением источника с дополнитель-

ным узлом, потенциал которого равен φF.

Рассмотрим теперь способ представления РИ-модели однополюсника F. Предположим, что однополюсник описывается уравнением вида (3.40), тогда, используя разностную аппроксимацию дифференциальных соотношений, мож- но записать следующее разностное уравнение однополюсника:

	-	α0	ϕFn+1	- EF = μ (ϕFn+1)çæ	-	α0	IFn+1	- JF ÷ö	+ A(ϕFn+1),
		Dt				Dt
				è				ø

где

1

m

1

m

EF =

åα jϕFn+1− j ;

JF

=

åα j IFn+1− j .

Dt

Dt

j=1

j=1

Линеаризуя разностное уравнение в окрестности точки ϕ p+1

, получаем

искомую РИ-модель однополюсника F:

Fn+1

I p+1

= y

F

ϕ p+1 + I p

,

где

Fn+1

Fn+1

Dt

ì

α

dA

dμ / dϕ

éα

p

p

ù

ü

ï

0

F

0

ï

y

=

í

+

-

ê

ϕ

+ E

+ A(ϕ

)ú

- J

ý

,

α

μ (ϕ p

μ (ϕ p

Fn+1

Fn+1

F

0

) ï Dt

dϕF

)

ë Dt

F

û

F

ï

Fn+1

î

Fn+1

þ

p

α

ì

1

é

α

p

p

ù

ü

0

ï

0

ï

I

Fn+1

=

í

ê

ϕ

Fn+1

+ E

F

+ A(ϕ

Fn+1

)ú

- J

ý.

Dt

ï μ (ϕ p

) ë Dt

û

F ï

î

Fn+1

þ

(3.43)

Эквивалентную

схему,

изображенную

на

рис.

3.10,

можно

упростить,

представляя модель каждой обмотки в виде РИ-модели трехполюсника. Запи-

шем ypaвнение k-й обмотки трансформатора (3.39) в разностной форме:

.

ϕ -ϕ = r i -α0 L i

- Lk å α i

-ω S α0ϕ -

ωk S å α ϕ

m

m

An+1 Bn+1

k kn+1

k kn+1

j=1 j kn+1− j

k

Dn+1

j=1 j Dn+1− j

Dt

Dt

Dt

Dt

Из данного выражения нетрудно определить ток обмотки:

i

= y

çæϕ

An+1

-ϕ

Bn+1

+

α0ωk S

ϕ

Dn+1

+ F

÷ö,

Dt

kn+1

k

è

k

ø

где

−1

y = çæ r - α0Lk ÷ö

1 å α j ( L i

+ω Sϕ

).

; F =

m

k

è k

ø

k

j=1

k kn+1− j

k

Dn+1− j

Dt

Dt

С учетом обозначений, принятых на эквивалентной схеме (рис. 3.10), за- пишем полюсные токи k-й обмотки:

I	An+1	= i	, I	Bn+1	= −i	, I	Dn+1	= −	ωk	i	,
		kn+1			kn+1				l kn+1

откуда легко выражается РИ-модель трехполюсника:

éêI ê I

ê

êI

ë

p+1 ù An+1ú

p+1 ú =

Bn+1 ú

p+1 ú

Dn+1û

é		1	-1
ê
ê
yk êê	-1		1
ê		ω		ω
ê					k
ê	-	k
		l		l
ë

α0ωk S

Dt

-α0ωk S

Dt

-α0ωk2 S

Dtl

ù

ú

úéDϕ

úê ϕ

úêD úú êêëDϕ

û

p+1	ù	éI
An+1	ú
p+1	ú	ê
Bn+1	ú	+ ê I
p+1	ú	êI
Dn+1	û	ë

p + ù An 1ú p + ú . Bn 1

p ú Dn+1û

				(3.44)
	L1			Lk			Lm		Lq
i	r1	. . .	i	rk	. . .	i	rm	. . . i	rq
1			k			m		q
	E1			Ek			Em		Eq