Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий

Специальность_________________________________

Контрольная работа

По курсу________ФОПРЭС________________________

Вариант №_₁₄_

Студент-заочник___ курса

Группы №______________

ФИО __________________

_______________________

Адрес__________________

_______________________

Тел. ___________________

Минск, 2012

Вариант 14

14.П-теорема.

46.Теплопроводность цилиндрической стенки.

78.Классификация систем охлаждения.

^{Задачи:}

^{Вариант 14}

^a).

^{b). Задача по оценке механического воздействия.}

14. П-теорема.

Π-теорема(пи-теорема) — основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется зависимость междуфизическими величинами, не меняющая своего вида при изменении масштабов единиц в некотором классе систем единиц, то она эквивалентна зависимости между, вообще говоря, меньшим числом безразмерных величин, где— наибольшее число величин с независимыми размерностями среди исходныхвеличин. Π-теорема позволяет установить общую структуру зависимости, вытекающую только лишь из требования инвариантности физической зависимости при изменении масштабов единиц, даже если конкретный вид зависимости между исходными величинами неизвестен.

Формулировка теоремы

Для простоты ниже приводится формулировка для положительных величин .

Предположим, что имеется зависимость между физическими величинами,,,:

вид которой не меняется при изменении масштабов единиц в выбранном классе систем единиц (например, если используется класс систем единиц LMT, то вид функции не меняется при любых изменениях эталонов длины, времени и массы, скажем при переходе от измерений в килограммах, метрах и секундах к измерениям в фунтах, дюймах и часах).

Выберем среди аргументов функции наибольшую совокупность величин с независимыми размерностями (такой выбор можно, вообще говоря, производить различными способами). Тогда если число величин с независимыми размерностями обозначено и они занумерованы индексами,,,(в противном случае их можно перенумеровать), то исходная зависимостьэквивалентна зависимости междубезразмерными величинами,,,:

где — безразмерные комбинации, полученные из оставшихся исходных величин,,,делением на выбранные величины в соответствующих степенях:

(безразмерные комбинации всегда существуют потому, что ,,,— совокупность размерно-независимых величин наибольшего размера, и при добавлении к ним ещё одной величины получается совокупность с зависимыми размерностями).

Доказательство

Доказательство пи-теоремы очень простое. Исходную зависимость между,,,можно рассматривать как некоторую зависимость между,,,и,,,:

причем вид функции также не меняется при изменении масштабов единиц. Остается заметить, что в силу размерной независимости величин,,,всегда можно выбрать такой масштаб единиц, что эти величины станут равными единице, в то время как,,,, будучи безразмерными комбинациями, своих значений не изменят, поэтому при так выбранном масштабе единиц, а значит, в силу инвариантности, и в любой системе единиц, функцияфактически зависит только от: