ЛЕКЦИЯ 16 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

План лекции

1. Разряд конденсатора на резистор 2. Подключение реальной катушки к источнику постоянного напряжения

3. Короткое замыкание индуктивной катушки 4. Подключение реальной индуктивной катушки к источнику синусоидального напряжения 5. Учет первого закона коммутации на практике

1. Разрядконденсаторанарезистор

Схема замещения рассматриваемой цепи представлена на рис. 16.1.

Рис. 16.1

В положении ключа 1 происходит уже рассмотренный процесс заряда конденсатора до напряжения источника U с постоянной времени τзар = R1C.

Ток заряда конденсатора направлен от положительного зажима источника к отрицательному.

При положении ключа 2 конденсатор разряжается на резистор сопротивлением R. Ток iСраз направлен от положительно заряженной обкладки

конденсатора.

1. Составим уравнение электрического состояния цепи разряда конденсатора:

RiС + uС = 0.

Подставив iС = C ddutС , получим

RC ddutС +uС = 0 .

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-105-

ЛЕКЦИЯ 16. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

1. Разряд конденсатора на резистор

Это уравнение однородное, поэтому решение содержит только одно слагаемое uСсв . Принужденная составляющая uСпр = 0 , что очевидно, так как

конденсатор разряжается.

2. Свободная составляющая меняется по закону экспоненты:

u	= Аеpt .
Ссв
Характеристическое уравнение RСp +1 = 0 . Отсюда p = −		1	= −	1	.
		RC
				τраз

Определим постоянную интегрирования А из начальных условий с использованием законов коммутации:

uС(0+) = uСсв(0+) .

Напряжение uС (0+) = uС (0−) =U ; uСсв(0+) = A. Тогда U = A. Напряжение на конденсаторе при его разряде меняется по закону

				−		1	t
		uС =Ue			RC .
				uС		1
		i				= −U e−			t . Токи заряда и разряда
	Ток разряда конденсатора		= −					RC
		С		R			R

конденсатора направлены противоположно.

Графики изменения uС и iС приведены на рис. 16.2 и рис. 16.3.

uC

U

t

Рис. 16.2

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-106-

ЛЕКЦИЯ 16. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

1. Разряд конденсатора на резистор

iC

t

U

R

Рис. 16.3

При периодическом переключении рубильника из положения 1 в положение 2 и обратно графики изменения uС и iС будут иметь вид, представ-

ленный на рис. 16.4.

uC

iC

t

Рис. 16.4

Если путем подбора параметров добиться, чтобы τзар стало много больше τраз , то график изменения uС будет иметь вид, представленный на рис. 16.5.

uC

t

Рис. 16.5

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-107-

ЛЕКЦИЯ 16. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

1.Разряд конденсатора на резистор

Вэтом случае схема на рис. 16.1 будет являться простейшим генератором пилообразного напряжения (релаксационным генератором), который используют в качестве генератора развертки в телевизорах и осциллографах.

ВМосковском политехническом музее демонстрируют телевизионный приемник с механической разверткой.

Механизм механической развертки выставлен на обозрение отдельно. Он представляет собой отполированный до зеркального блеска винт с вертикальной осью, приводимый во вращение электродвигателем. Высота этого телевизора около полутора метров, круглый экран размером немного превышает пятирублевую монету.

Именно использование релаксационного генератора, в основу принципа действия которого положены переходные процессы, сделало возможным повсеместное применение телевизионных приемников.

2.Подключениереальнойкатушки

кисточникупостоянногонапряжения

Схема замещения анализируемой цепи приведена на рис. 16.6.

Рис. 16.6

1. Уравнение электрического состояния в дифференциальной форме:

uL +uR =U .

После подстановки uL и uR , выраженных по закону Ома, получим

уравнение с одной переменной:

L dditL + RiL =U .

L dditL + RiL =U .

2. Решение этого уравнения является суммой двух слагаемых:

iL = iLпр +iLсв.

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-108-

ЛЕКЦИЯ 16. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

2.Подключение реальной катушки к источнику постоянного напряжения

3.Найдем iLпр в схеме при t = ∞. Индуктивный элемент не оказывает

сопротивления постоянному току, вместо него будет закоротка. Тогда iLпр = UR .

4. Вычислим iLсв по закону экспоненты:

iLсв = Аеpt .

Составим характеристическое уравнение для определения p:

Lp + R = 0 .

Отсюда p = − RL . Постоянная времени τ = 1p = RL .

Так как [L] = Гн = с Ом, то[ф] = с.

Определим постоянную интегрирования А из начальных условий с использованием законов коммутации.

В начальный момент времени

iL (0+) = iLпр(0+) + iLсв(0+) .

По первому закону коммутации iL (0+) = iL (0−) . До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому iL (0−) = 0 .

Принужденная составляющая iLпр = UR – постоянная величина. Сво-

бодная составляющая в начальный момент iLсв(0+) = А.

После подстановки получим 0 = UR + A . Отсюда A = −UR .

	U		U	−	R	t
Тогда закон изменения тока iL =		−
	R		R	e L .

−R t

Закон изменения напряжения uR = RiL =U −Ue L .

di

L

U

R

−

R

t

−

R

t

Закон изменения напряжения uL = L

=

L

e

L

=Ue

L .

dt

R

L

−

R

t

−

R

t

В любой момент времени uR +uL =U −Ue

L

+Ue

L

=U .

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-109-

ЛЕКЦИЯ 16. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

2. Подключение реальной катушки к источнику постоянного напряжения

Проиллюстрируем полученные законы изменения электрических величин графиками.

График тока iL (см. рис. 16.7) получаем как сумму графиков iLпр и iLсв.

Составляющая тока iLпр = UR = const . Свободная составляющая меняется по закону экспоненты и стремится к нулю. В начальный момент iL св(0+) = −UR .

Рис. 16.7

Из графика видно, что ток в индуктивной катушке меняется плавно и стремится к принужденной составляющей.

Графики изменения напряжений uR и uL приведены на рис. 16.8.

Рис. 16.8

График uR аналогичен графику тока iL , так как uR = RiL . Напряжение uL в начальный момент возрастает скачком до величины

входного напряжения, а затем по экспоненциальному закону уменьшается до нуля.

Рационально самостоятельно проанализировать, как будут изменяться графики при перемене значений R и L.

3. Короткоезамыканиеиндуктивнойкатушки

Схема замещения анализируемой цепи изображена на рис. 16.9.

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-110-

ЛЕКЦИЯ 16. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

3. Короткое замыкание индуктивной катушки

До замыкания ключа в индуктивной катушке был ток от источника энергии. После коммутации входной ток будет замыкаться по закоротке. Ток в индуктивной катушке не может исчезнуть мгновенно. Он будет замыкаться по пути наименьшего сопротивления, т. е. по закоротке.

Закон изменения тока

							U		R
					iL			e−		t . График изменения тока
						=			L
		Рис. 16.9					R1 + R
	показан на	рис. 16.10.
			iL
			U
			R1+R

t

Рис. 16.10

4.Подключениереальнойиндуктивнойкатушки

кисточникусинусоидальногонапряжения

Схема замещения рассматриваемой цепи изображена на рис. 16.11. Входное напряжение u =Um sin(ωt + ψu) .

Рис. 16.11

1. Уравнение электрического состояния в дифференциальной форме:

L dditL + RiL = u .

2. Закон изменения тока iL находим как сумму двух слагаемых:

iL = iL пр +iL св.

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-111-

ЛЕКЦИЯ 16. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

4.Подключение реальной индуктивной катушки к источнику синусоидального напряжения

3.Найдем ток iL пр , который меняется по синусоидальному закону:

iL пр = ILm пр sin(ωt + ψu −φ)= ILm пр sin(ωt + ψi пр ).

Проведем расчет для комплексов максимальных значений:

	I Lmпр =	Um		=	Ume jψu	= I Lmnрe j(ψu −ϕ) = I Lmпрe jψiпр .
		R + jLω			Ze jϕ

4. Вычислим iLсв по закону экспоненты: iLсв = Ae pt . Характеристическое уравнение Lp + R = 0 дает решение:

p = − RL .

Определим постоянную интегрирования А.

В начальный момент времени iL (0+) =iLпр(0+) + iL св(0+).

По первому закону коммутации iL (0+) = iL (0−). До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому iL (0−) = 0. Принужденная составляющая в начальный момент iL пр (0+) = ILm пр sin ψi пр. Это кон-

кретное значение тока. Свободная составляющая в		начальный момент
iL св(0+) = A .
После подстановки получим
	0 = ILm пр sin ψiпр + A.
Отсюда А= −ILm пр sin ψi пр , т.е. iL пр(0+) и iL св(0+)		равны и противопо-
ложны. Тогда закон изменения тока
		−	R	t
iL = ILm пр sin(ωt + ψi пр) − ILm пр sin ψi прe
			L .
График тока iL	(см. рис. 16.12) получаем как сумму графиков iL пр и
iL св. Составляющая	тока iL пр меняется по синусоидальному закону. На

рис. 16.12 начальная фаза ψi пр > 0, поэтому синусоида смещена влево. Сво-

бодная составляющая меняется по закону экспоненты и стремится к нулю. В начальный момент iL св(0+) = −iL пр(0+) .

График подтверждает плавное изменение тока в индуктивной катушке.

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-112-

Рис. 16.13 Рис. 16.13

ЛЕКЦИЯ 16. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

4. Подключение реальной индуктивной катушки к источнику синусоидального напряжения

Рис. 16.12

Если ψi пр = 0, свободная составляющая не возникнет и переходного

процесса не будет.

В те промежутки времени, когда iL пр и iLсв имеют одинаковые знаки, ток iL имеет значения, большие задаваемых источником. Говорят об ударном токе Iуд. , который может достигать значения 2ILm пр .

5. Учетпервогозаконакоммутациинапрактике

Рассмотрим, что произойдет, если ключ разомкнуть. Ток iL не может

измениться скачком. В момент, наступивший сразу после коммутации, ток останется тем же, что и до коммутации. На месте разрыва возникает перенапряжение, так как сопротивление воздушного промежутка велико. Это приводит к пробою, появляется искрение (электрическая дуга), портящее оборудование.

Ситуация ухудшается, если к зажимам индуктивной катушки подключен вольтметр

(см. рис. 16.13).

Сопротивление вольтметра велико, ток в нем при нормальной работе мал. При размыкании ключа большой ток индуктивной катушки, который не может измениться скачком, будет замыкаться через вольтметр, сопротивление которого все же меньше, чем у воздушного промежутка.

На вольтметре возникает перенапряжение, прибор может выйти из строя. Такое же напряжение будет и на индуктивной катушке, что может привести к пробою ее изоляции.

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-113-

ЛЕКЦИЯ 16. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

5. Учет первого закона коммутации на практике

Поэтому нельзя отключать незашунтированную катушку с током. Сначала нужно убрать напряжение либо параллельно подключить ветвь для замыкания тока катушки.

Вопросыдлясамопроверки

1.Какова простейшая схема генератора пилообразного напряжения?

2.Как необходимо учитывать первый закон коммутации на практике?

3.Какой закон коммутации выполняется в RL-цепях?

4.Какой режим работы цепи назвали принужденным?

5.Как определить постоянную интегрирования?

6.Как изменяются графики iL , uR , иuL при изменении значений R и

L?

7.Каково перераспределение токов после короткого замыкания индуктивной катушки?

8.Чем принципиально отличаются законы изменения тока при подключении индуктивной катушки к источникам постоянного и синусоидального напряжения?

9.В каком случае при подключении индуктивной катушки к источнику синусоидального напряжения переходный процесс не возникает?

10.Какой ток называют ударным?

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-114-

ЛЕКЦИЯ 17 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ

С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

План лекции

1. Подключение цепи с последовательным соединением реальной индуктивной катушки и конденсатора к источнику постоянного напряжения 2. Апериодический переходный процесс

3. Критический переходный процесс

4. Колебательный переходный процесс

1. Подключениецеписпоследовательнымсоединением реальнойиндуктивнойкатушкииконденсатора

кисточникупостоянногонапряжения

Схема замещения анализируемой цепи представлена на рис. 17.1.

1.		Уравнение электрического
	состояния		в дифференциальной
	форме:	L di
Рис. 17.1			+ Ri + uС =U .
		dt

В уравнение входят две изменяющиеся величины. Более рационально сначала искать закон изменения напряжения uС .

Подставив в уравнение состояния

du

С

di

di

d2u

С

i = i

= C

и

=

С

= C

,

С

dt

dt

dt

dt 2

получим

d2u

LC

С

+ RC

du

С

+uС

=U .

dt 2

dt

После деления на LC уравнение примет вид

d2uС

+

R

duС

+

1

uС =

U

.

LC

dt 2

L

dt

LC

2. Ищем закон изменения напряжения uС как сумму двух слагаемых:

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-115-

ЛЕКЦИЯ 17. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

1. Подключение цепи с последовательным соединением реальной индуктивной катушки и конденсатора к источнику пост. напряжения

uС = uСпр +uСсв .

3. Найдем принужденную составляющую uСпр. После окончания переходного процесса (t = ∞) конденсатор постоянный ток не пропускает (iпр = 0) . Поэтому uСпр =U .

4. Определим свободную составляющую uСсв .Закон ее изменения за-

висит от вида корней характеристического уравнения.

Составим характеристическое уравнение на основе уравнения электри-

ческого состояния:

p2 +

R p +

1

= 0.

LC

L

Его корни

p

= −

R

±

R2

−

1

.

1,2

2L

4L2

LC

В зависимости от параметров схемы возможны три вида корней характеристического уравнения.

2. Апериодическийпереходныйпроцесс

	Если	R2	>	1	, корни будут действительными и разными. Такой слу-
		4L2		LC
	чай переходного процесса называют апериодическим.
	При этом закон изменения свободной составляющей представляет со-
	бой сумму двух экспонент:
					u	Ссв	= А еp1t + А еp2t .
							1	2
	Постоянные интегрирования A1 и A2							вычислим из начальных условий
	с использованием законов коммутации.

При t = 0 + напряжение uС (0+) = uСпр(0+) + uСсв(0+) .

По второму закону коммутации uС (0+) = uС (0−) . До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому uС (0−) = 0 .

Принужденная составляющая является в данном примере постоянной величиной, следовательно uСпр (0+) =U .

Свободная составляющая в начальный момент uСсв (0+) = А1 + А2 .

Подставив эти значения, получаем уравнение с двумя неизвестными:

0 =U + А1 + A2 .

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-116-

ЛЕКЦИЯ 17. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

2. Апериодический переходный процесс

Необходимо второе уравнение. Дифференцируем уравнение, по которому идет решение:

du

С

=

duСпр

+

duСсв

.

dt

dt

dt

Из уравнения по закону Ома i = i

= C

duС

найдем

duС

=

iС

.

С

dt

dt

C

Так как uСпр =U = const ,

производная

duСпр

= 0 . Производная сво-

dt

duСсв

бодной составляющей

= p A e p1t + p

2

A e p2t .

dt

1

1

2

Уравнение в начальный момент времени имеет вид

iС (0+)

= p1 A1 + p2 A2 .

C

Анализируемая цепь

является

одноконтурной, поэтому iС (0+) =

= iL (0+) = iL (0−) . До коммутации цепь не была подключена к источнику энергии, поэтому iL (0−) = 0 .

Таким образом, получаем систему из двух уравнений:

0	=U + A + A ;
	1	2
	= р1А1 + р2	А2.
0
Выразим А2 из первого уравнения:		А2 = −U − A1. После подстановки

во второе уравнение получим

0 = p1 A1 + p2 (−U − A) .

Отсюда 0 = p1 A1 − p2U − p2 A1. Тогда

A =	p2U		; A = −U − A = −U −		p2U		= −	p1U	.
1	p1	− p2	2	1	p1	− p2		p1 − p2

Закон изменения напряжения на конденсаторе при его заряде от источника постоянного напряжения имеет вид

uС =U + p1 U− p2 (p2e p1t − p1e p2t ).

Закон изменения тока найдем по закону Ома:

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-117-

ЛЕКЦИЯ 17. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

2. Апериодический переходный процесс

i = C

duС

=

CU

(p

2

p e p1t − p p

2

e p2t ).

dt

p1 − p2

1

1

Произведение корней равно свободному члену характеристического

уравнения: p p

2

=

1

.

1

LC

После подстановки и сокращения получим

i =

U

(e p1t −e p2t ).

L( p − p

2

)

1

Проиллюстрируем процессы графиками, приведенными на рис. 17.2.

uC пр

U

Up2	i
	u	C	Up2	e p1t
p1 − p2
			p1 − p2

t

−

Up1

e p2t

p

− p

2

1

−

Up1

p1 − p2

Рис. 17.2

Ток в начале переходного процесса и после его окончания равен нулю.

График

напряжения

uС

складывается из: постоянного напряжения

uСпр =U

и двух экспоненциальных функций. Если p2 < p1 , то τ2 > τ1 ,

т. е.

значения экспоненты

−

Up1

e p2t

убывают медленнее, чем у экспоненты

p

− p

2

Up2

1

e p1t .

p − p

2

1

duC

Так

как

ток

i

= C

в

начальный момент равен нулю,

то

C

dt

duC (0+) = 0 , и касательная к графику uC при t = 0 + является горизонталь-
dt
Теоретические основы электротехники. Конспект лекций	-118-

ЛЕКЦИЯ 17. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

2. Апериодический переходный процесс

ной прямой. При максимальном значении тока кривая uC имеет точку перегиба.

3. Критическийпереходныйпроцесс

Если R2 = 1 , корни будут действительными и равными: 4L2 LC

p1 = p2 = p = − 2RL .

Такой случай переходного процесса называют критическим или предельным апериодическим.

При этом свободная составляющая напряжения меняется по закону uC св = (A1 + A2t)e pt .

Вычислим постоянные интегрирования A1 и A2 .

При t = 0 +

напряжение

uC (0+) = uC пр(0+) + uC св(0+) . При этом

uC (0+) = uC ()−) = 0 , uC пр(0+) =U , uC св(0+) = А1 .

Подставив эти значения, получим уравнение

0 =U + A1.

Отсюда A1 = −U .

A2 , нужно второе уравнение,

Чтобы найти

которое получаем диффе-

ренцированием первого:

du

С

=

duСпр

+

du

Ссв

.

dt

dt

dt

du

С

i

duСпр

duСсв

= pA e pt

+ A e pt + A tpe pt .

Производная

=

С

,

=

0 ,

dt

C

dt

dt

1

2

2

Уравнение в начальный момент времени имеет вид

iС (0C +) = pA1 + A2 .

Так как iC (0+) = iL (0+) = iL (0−) = 0 , получаем уравнение

0 = pA1 + A2 .

Подставив A1 = −U , получим .

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-119-

ЛЕКЦИЯ 17. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

3. Критический переходный процесс

Закон изменения напряжения на конденсаторе в критическом случае его заряда от источника постоянного напряжения имеет вид:

uС =U +(−U + pUt)e pt

либо

uС =U[1−(1− pt)]e pt .

Закон изменения тока можно получить по формуле iС = C ddutС .

Графики изменения uС и iС аналогичны приведенным на рис. 17.2.

4. Колебательныйпереходныйпроцесс

Если R2 < 1 , корни будут комплексными сопряженными. Такой

4L2 LC

случай переходного процесса называют колебательным. Введем обозначения:

2RL = β – коэффициент затухания;

1 − R2 = ω0 – угловая частота собственных колебаний контура.

LC 4L2

Тогда p1,2 = −β± jω0 .

Свободную составляющую удобно записать как синусоиду, затухающую по экспоненте:

uСсв = Ae−βt sin(ω0t +λ) .

Нужно вычислить А и л.

При t = 0+ напряжение uС (0+) = uСпр(0+) + uСсв(0+) . По второму зако-

ну коммутации	uС (0+) = uС (0−) = 0 . Принужденная составляющая
uСпр(0+) =U .	Свободная	составляющая	в	начальный	момент
uСсв(0+) = Asin λ.

Подставив эти значения, запишем уравнение с двумя неизвестными:

0 =U + Asin λ.

Второе уравнение получаем дифференцированием первого: ddutС = dudСtпр + dudСtсв .

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-120-

ЛЕКЦИЯ 17. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

4. Колебательный переходный процесс

du

i

duСпр

duСсв

= −Aβe−βt sin(ω0t + λ) +

Производная

С

=

С

,

= 0 ,

dt

C

dt

dt

+ Ae−βt ω0 cos(ω0t +λ) .

Уравнение в начальный момент имеет вид

iС (0+)

= −Aβsin λ

+ Aω0 cos λ.

C

Так как iС (0+) = iL (0+) = iL (0−) = 0 , получаем систему уравнений

0 =U + Asin λ;

= −Aβsin λ + Aω0 cos λ.

0

Отсюда A = −sinU λ .

Разделив второе уравнение на Acosλ, получим

0 = −βtgλ + ω0 .

Отсюда tgλ = ωβ0

Рис. 17.3

sin λ = ω0 LC ,

A = − ω0 ULC .

. Тогда λ = arctg ωβ0 . Далее можно вычислить А.

Очевидно, что ω0 и в являются катетами пря-

моугольного треугольника с углом л при вершине

(рис. 17.3).

Квадрат гипотенузы этого треугольника по

теореме	Пифагора равен		(β2 + ω2 )= p p			2	=	1	,
			0	1				LC
				1
отсюда	гипотенуза	равна			.		Тогда
				LC

Закон изменения напряжения на конденсаторе в колебательном случае его заряда от источника постоянного напряжения имеет вид

uС =U − ω0 ULC e−βt sin(ω0t + λ) .

Закон изменения тока можно найти по закону Ома [1]:

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-121-

ЛЕКЦИЯ 17. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

4. Колебательный переходный процесс

i = C	duС	=	U	e−βt sin ω	t .
С	dt		ω0 L	0

Графики изменения напряжения uС и тока iС приведены на рис. 17.4.

U + ω0 ULC e−βt

U e−βt

ω0 L

Рис. 17.4

В начальный момент ddutС (0+) = 0 , поэтому касательная к графику uС

при t = 0 + является горизонтальной прямой.

Экстремальным значениям тока соответствуют точки перегиба графика напряжения uС .

Кривая тока совершает затухающие по экспоненте колебания относительно нулевого значения, кривая напряжения – относительно величины входного напряжения U. Величина uС не может превзойти значение 2U.

Вопросыдлясамопроверки

1.Какие законы коммутации выполняются в цепи, содержащей индуктивную катушку и конденсатор?

2.Какой режим назвали принужденным?

3.Как составить характеристическое уравнение для неразветвленной

цепи?

4.Каким образом ищут постоянные интегрирования?

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-122-

ЛЕКЦИЯ 17. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Вопросы для самопроверки

5.Как получают второе уравнение для вычисления постоянных интегрирования?

6.В каком случае переходный процесс будет апериодическим?

7.В каком случае переходный процесс будет критическим?

8.В каком случае переходный процесс будет колебательным?

9.От чего зависят корни характеристического уравнения?

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-123-