Государственное высшее учебное заведение «запорожский национальный университет» Министерства образования и науки Украины
К защите допущен Заведующий кафедрой
математического анализа
______________ С. Н. Гребенюк
(подпись)
____________________________
(дата)
Курсовая работа
по теме: «Метод Ритца решения краевых задач»
Выполнил
ст. группы 4219-1 Б. А. Подлисецкий
(шифр) (подпись и дата) (Ф.И.О.)
Заведующий кафедрой математического анализа С.Н. Гребенюк
(должность) (подпись и дата) (Ф.И.О.)
г. ЗАПОРОЖЬЕ
2011
Содержание:
|
|
|
|
Введение |
3 |
1. |
Основные сведения. |
4 |
2. |
Метод Ритца. |
6 |
3. |
Задачи. |
10 |
4. |
Выводы. |
16 |
5. |
Список литературы. |
17 |
Введение
На практике в большинстве случаев получить точное решение поставленной математической задачи не удается. Поэтому важного значения приобретают численные методы решения возникающих на практике сложных задач.
В первом разделе дается краткая характеристика краевых задач, методы их решения, классификация.
Второй раздел посвящен теоретическим сведениям касательно метода Ритца решения краевых задач.
В третьем разделе расположены примеры задач и их решения методом Ритца.
Основные сведения
Точное (аналитическое) решение краевых задач вызывает еще б льшие трудности, чем решение задач Коши. Отсюда – повышенный интерес и большое разнообразие приближенных методов решения таких задач. По типу представления результатов приближенного решения методы можно разделить на две группы: приближенно-аналитические, дающие приближенное решение краевой задачи на отрезке в виде некоторой конкретной функции, и собственно численные или сеточные методы, дающие каркас приближенного решения на заданной на сетке. По идейной основе приближенных методов их можно классифицировать следующим образом:
Методы сведения к задаче Коши (метод пристрелки, метод дифференциальной прогонки, метод редукции);
Метод конечных разностей;
Метод балансов или интегро-интерполяционный метод;
Метод коллокации;
Проекционные методы (моментов, Галёркина);
Вариационные методы (наименьших квадратов, Ритца);
Проекционно-разностные методы (метод конечных элементов);
Методы сведения к интегральным уравнениям Фредгольма и др.
Для отыскания решения краевой задачи
(1.1)
(1.2)
надо подставить общее решение уравнения (1.1) в краевые условия (1.2) и из этих условий определить (если это возможно) значения произвольных постоянных, входящих в формулу общего решения. В отличие от задачи с начальными условиями (задачи Коши), краевая задача не всегда имеет решение, а если разрешима, то не обязательно единственным образом.
2 Метод ритца
Идея метода Ритца заключается в том, что значение некоторого функционала рассматривается не на произвольных допустимых кривых данной вариационной задачи, а лишь на всевозможных линейных комбинациях
с постоянными коэфициентами составленных из n первых функций некоторой выбранной последовательности функций
(2. 2)
Функции (2.1) должны быть допустимыми в рассматриваемой задаче, что налагает некоторые ограничения на выбор последовательности функций . На таких линейных комбинациях функционал превращается в функцию коэффициентов . Эти коэффициенты выбираются так, чтобы функция достигала экстремума; следовательно, должны быть определены из системы уравнений
Совершая предельный переход при , получим в случае существования предела функцию являющуюся (при некоторых ограничениях, налагаемых на функционал и на последовательность точным решением рассматриваемой вариационной задачи. Если не совершать предельного перехода, а ограничится лишь первыми членами то получим приближенное решение вариационной задачи.
Если таким методом определяется абсолютный минимум функционала, то приближенное значение минимума функционала находится с избытком, так как минимум функционала на любых допустимых кривых не больше, чем минимум того же функционала на части этого класса допустимых кривых – на кривых вида При нахождении тем же методом максимального значения функционала получаем по тем же причинам приближенное значение максимума функционала с недостатком.
Для того чтобы функции были допустимыми, прежде всего необходимо удовлетворять граничным условиям. Если граничные условия линейны и однородны, например, в простейшей задаче или
где - постоянные, то проще всего и координатные функции выбрать удовлетворяющими этим граничным условиям. Очевидно, что при этом и при любых будут удовлетворять тем же граничным условиям. Пусть, например, граничные условия имеют вид
Тогда в качестве координатных функций можно выбрать
Где - какие-нибудь непрерывные функции, или
или какие-нибудь другие функции, удовлетворяющие условиям
Если условия неординарны, например где хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то проще всего искать решение вариационной задачи в виде
Где удовлетворяет заданным граничным условиям , а все остальные удовлетворяют соответствующим однородным граничным условиям, т. е. в рассматриваемом случае Очевидно, что при таком выборе при любых функции удовлетворяет заданным граничным условия. В качестве функции можно выбрать, например, линейную функцию
Решение системы уравнений
вообще говоря, является весьма сложной задачей. Эта задача значительно упрощается, если на экстремум исследуется квадратичный относительно неизвестной функции и ее производных функционал , так как в этом случае уравнения (2. 7) линейны относительно .
Выбор последовательности функций , называемых координатными функциями, сильно влияет на степень сложности дальнейших вычислений, и поэтому от удачного выбора координатной системы функций в значительной мере зависит успех применения этого метода.