Дисципліна: МОДЕЛЮВАННЯ ТЕХНІЧНИХ СИСТЕМ У ПОЛІГРАФІЇ
Модуль 2: МОДЕЛЮВАННЯ СТРІЧКОПРОВІДНИХ СИСТЕМ
Лекція 8: МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ І СИСТЕМ
План лекції 18:
8.1. Основні методи опису неперервних процесів і систем
8.2. Диференціальні рівняння поліграфічних процесів
8.3. Операційне числення на основі перетворення Лапласа
8.4. Основні теореми перетворення Лапласа L[f(t)] = F(s)
8.1. Основні методи опису неперервних процесів і систем
Література: Луцків, М. М. Математичне моделювання і комп'ютерне симулювання електромеханічних та стрічкопровідних систем / М. М. Луцків, І. М. Хмельницька. – Львів: Укр. акад. друкарства, 2010. – 172 с. // С. 11.
Математичне моделювання можна здійснювати на підставі математич-ного опису об’єкта, процесу системи шляхом опрацювання їх математичних моделей. При опрацюванні моделей спочатку потрібно окреслити припущення, на яких базується модель, а пізніше визначити, як впливають припущення на результати моделювання.
Достовірно опрацьована модель повинна виражатися в заданих межах та описувати властивості процесів і систем. Опрацювання моделі динамічних процесів і систем полягає у застосуванні рівнянь фізичних процесів, які в них відбуваються.
Рівняння динаміки багатьох лінійних об'єктів і процесів найчастіше є диференціальними рівняннями, які містять час, як незалежну змінну і виражають залежності між відповідними змінними величинами.
Для математичного описання динамічних об'єктів і систем залежно від їх фізичної природи застосовують відповідні фізичні закони. Наприклад, для механічних об'єктів використовуються рівняння рівноваги сил і моментів, другий закон Ньютона для поступового та обертового руху; для електричних систем – закон Ома, закони Кірхгофа. Ці та інші закони відомі та описані відповідними рівняннями, котрі є математачними моделями динаміки тих процесів і систем.
Диференціальні рівняння, які описують динаміку простих неперервних процесів та їх розв’язки є відомі. Задача полягає у виборі моделі та визначенні параметрів процесу. Є також об’єкти і процеси, для яких немає готових готових моделей. В останньому випадку необхідно створити нову модель – це праця творча і дослідницька. Далі будують досліджуватися тільки методи опису лінійних процесів та систем неперервних в часі, які описуються неперервними функціями часу.
До головних методів опису неперервних процесів та систем належать:
– диференціальні рівняння;
– передавальні функції,
– структурні схеми.
Залежно від способу деталізації зв'язків між елементами моделі описання може бути цілісне і структурне. Цілісне описання представляє залежності між виходом і входом систем, не враховуючи зв'язки між елементами системи. Структурне описання здійснює опис окремих елементів систем і враховує зв’язки між ними.
8.2. Диференціальні рівняння поліграфічних процесів
Література: Луцків, М. М. Математичне моделювання і комп'ютерне симулювання електромеханічних та стрічкопровідних систем / М. М. Луцків, І. М. Хмельницька. – Львів: Укр. акад. друкарства, 2010. – 172 с. // С. 12 – 13.
Математичне описання об'єктів і систем здійснюється за допомогою рівнянь, котрі виражають фізичні закони, існуючі в даній системі. Серед таких рівнянь розрізняють рівняння статики і динаміки. Обидва роди рівнянь визначають зв'язки між вихідною величиною у (вихідною змінною) і вхідною величиною х (вхідною змінною) в усталеному режимі (в стані рівноваги).
Багато об'єктів і систем та їх моделі можуть бути лінійними або лініаризованними – лінійними в певних межах. Лінійні системи – це динамічні системи, які можна мзоделювати лінійними рівновагами (рос. равновесиями). Такими можуть бути лінійні алгебраїчні рівняння і лінійні диференціальні рівняння. Почнемо моделювання процесів в системі з одним входом х(t) і виходом у(t), схема якої представлена на рис. 1.1.
Рисунок 1.1 – Схема системи з одним входом і одним виходом
Рівняння динаміки – це такі диференціальні рівняння, що містять час як незалежну змінну, виражаючі залежності між вихідною величиною у і вхідною змінною х в неусталеному стані, або по збуренні динамічної рівноваги системи внаслідок зміни вхідної величини.
Розглянемо диференціальне рівняння:
a2[d2y/dt2] + a1[dy/dt] + а0 у = b0 x(t), (1.1)
де t – незалежна змінна часу, а0, а1, а2, b0 – параметри об'єкта чи системи. Рівняння (1.1) – просте диференціальне рівняння другого порядку. Система описується коефіцієнтами а0, а1, а2, b0 .
Якщо задано конкретний вигляд вхідної змінної х(t), одержимо лінійне диференціальне рівняння із сталими коефіцієнтами. Розв'язок цього рівняння дає вихідну змінну у(t).
Диференціальне рівняння, яке описує динаміку довільного лінійного стаціонарного об'єкта чи системи має вигляд:
(1.2)
де а0, а1, …, аn, b0, b1, …, bm – сталі коефіцієнти рівняння, n – порядок рівняння.