- •Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Студент должен выполнять вариант, номер которого совпадает с цифрой его шифра (номера зачетной книжки), если последняя цифра 0, то решают задачи с 10, 20…
- •Контрольная работа №II(1) Функции многих переменных. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл, его приложения.
- •Контрольная работа №II(2) Кратные и криволинейные интегралы.
Контрольная работа №II(1) Функции многих переменных. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл, его приложения.
1. Дана функция . Показать, что .
2. Дана функция . Показать, что .
3. Дана функция z=ln(x2+y2+2x+1). Показать, что .
4. Дана функция . Показать, что .
5. Дана функция . Показать, что .
6. Дана функция . Показать, что .
7. Дана функция z= . Показать, что .
8. Дана функция . Показать, что .
9. Дана функция z=sin(x+ay). Показать, что .
10. Дана функция . Показать, что
11-20. Даны функция z=(x ; y), точка А(x0 ;y0) и вектор а. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.
11. z = x2 + xy + y2 ; A(1 ; 1), a = 2i - j .
12. z = 2x2 + 3 xy + y2 ; A(2 ; 1), a = 3i - 4 j .
13. z = ln (x2 + 3y2); A(1 ; 1), a = 3i + 2j .
14. z = ln (5x2 + 4y2); A(1 ; 1), a = 2i - j .
15. z = 5x2 + 6 xy ; A(2 ; 1), a = i + 2j .
16. z = arctg (xy2); A(2 ; 3), a = 4i - 3j .
17. z = arcsin ; A(1 ; 2), a = 5i - 12j .
18. z = ln (3x2 + 4y2); A(1 ; 3), a = 2i - j .
19. z = 3x4 + 2x2y3 ; A(- 1 ; 2), a = 4i - 3j .
20. z = 3x2y2 + 5y2x ; A(1 ; 1), a = 2i + j .
21-30. Найти неопределенные интегралы. В первом примере результат проверить дифференцированием.
21. a) ; б) ;
22. a) ; б) ;
23. a) ; б) ;
24. a) ; б) ;
25. a) ; б) ;
26. а) ; б) ;
27. a) ; б) ;
28. a) ; б) ;
29. a) ; б) ;
30. a) ; б) ;
31-40. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
31. . 32. .
33. . 34. .
35. . 36. .
37. . 38. .
39. . 40. .
Контрольная работа №II(2) Кратные и криволинейные интегралы.
41-50. Вычислить указанные двойные интегралы и изменить порядок интегрирования.
41. , где область D: 1 £ x £ 2; y = 1; y = x.
42. , где область D: x+ y £ 1, x - y £ 1, x ³ 0.
43. , где область D: y £ , y ³ 0, x ³ 0, x £ 1.
44. , где область D: x ³ 0; x £ ; y £ sin x; y ³ 0.
45. , где область D: y ³ x; y £ 2x; x+ y £ 6.
46. , где область D: 0 £ y £ 1; x= y; x = .
47. dx dy, где область D: x = 2; y = x; xy = 1.
48. dx dy, где область D: x = 0; y = p; y = x.
49. dx dy, где область D: y = x2 ; y2 = x.
50. , где область D: y = 1; y = 2; x = 0; y = .
51 - 60. Вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ.
51. z = 0, 4z = y2 , 2x - y = 0, x + y = 9.
52. z = 0, z = 4 , x = 0, x + y = 4.
53. z = 0, z = x2 , 3x + 2y =6, y = 0.
54. z = 0, z = 2 x2 +3y2, x + y = 1, x = 0, y = 0.
55. z = 0, z = y2 , y = 2x, x = 1.
56. z = 0, y = x2 , z = y, z = 6.
57. z = 0, z = y2 , 2x + 3y = 6, x = 0.
58. z = 0, y = , z = 5x.
59. z = 0, z = x2 + y2 , y = x2 , y = 1.
60. y = 0, z = 0, 3x + y = 6, 3x + 2y = 12, x + y + z = 6.
61. Вычислить криволинейный интеграл ds, вдоль первой арки циклоиды
62. Вычислить криволинейный интеграл ,
где L - парабола y = x2 (0 £ x £ 2).
63. Вычислить криволинейный интеграл x dy,
вдоль дуги y = ln x от точки А(1; 0) до точки В(е; 1).
64. Вычислить криволинейный интеграл - (y2 + x),
где L - треугольник АОВ. { A( 3; 0), B (2; 1), O(0; 0)}.
65. Вычислить криволинейный интеграл ,
вдоль L дуги параболы у = х2 от точки А(1; 1) до точки В(2; 4).
66. Вычислить криволинейный интеграл
,
вдоль верхней половины L эллипса x = 3 cos t, y = 2 sin t
(0 £ t £ p).
67. Вычислить криволинейный интеграл , вдоль дуги L окружности .
68. Вычислить криволинейный интеграл , вдоль дуги L параболы у = от точки А ( 1; ) до точки В( 2; 2).
69. Вычислить криволинейный интеграл , вдоль отрезка L = AB прямой от точки А(1; 2) до точки В(2; 4).
70. Вычислить криволинейный интеграл , вдоль границы L треугольника АВС, обходя ее против часовой стрелки, если А(1; 0), В(1; 1), С (0; 1).
71 -80. Преобразовать криволинейный интеграл в двойной и вычислить его ( по формуле Грина).
71. , где С - контур области, ограниченной линиями: y = x, y = 2x - x2 .
72. , где С: у = 2 - х2 , у = х2 .
73. где С: xy = 1, y = 2, x = 2.
74. где С: y= , y = x, y = 0.
75. где С: x =1, y2 = x.
76. где С: x+y = 2, x=0, y= 0.
77. где С - контур треугольника АВС: A(1; 1), B(3; 2), C(2; 5).
78. где С: x2 + y2 = 2y.
79. где С: 6y+ x £ 4, x ³ - 4 -y2, y ³ 0.
80. где С: y = 3x2, y = 2x.