7. Инварианты напряженного состояния в точке. Тензор напряжений.

Расположение главных площадок и значения главных напряжений зависят от действующих напряжений и не зависят от системы координат и ее изменения. Таким образом, коэффициенты ХУНС не зависят от системы координат и называются инвариантами напряженного состояния:

линейный инвариант; квадратичный инвариант; кубический инвариант.

Тензор – величина, описываемая тремя векторами и девятью скалярными величинами. В силу парности касательных напряжений, тензор напряжений, характеризующий напряженное состояние в точке, может описываться шестью скалярными величинами. Тензор напряжений равен кубическому инварианту.

8. Дифференциальные уравнения равновесия. Краевые условия для напряжений.

Рассматрим равновесие элементарного параллелепипеда вдоль . Сумма всех сил, действующих вдоль на ЭП равна нулю. Эти силы – напряжения и массовые силы, действующие вдоль :

нормальное напряжение, действующее на грань ;

нормальное напряжение на противоположной грани;

касательные напряжения, действующие на грани и соответственно;

касательные напряжения, действующие на противоположные грани;

Запишем уравнение равновесия для :

Записывая уравнения равновесия для остальных осей и раскрывая скобки, получим дифференциальное уравнение равновесия элементарного тела:

Краевые условия определяют напряжения, действующие на поверхности тела (нагрузка на тело ). Элементарную площадку, на которую действуют эти нагрузки, можно рассматривать как косую площадку и записать уравнение равновесия для нее, что и будет являться краевыми условиями:

Действие распределенной нагрузки можно заменить равнодействующей сосредоточенной нагрузкой , при существенной малости площади нагружения и большой величине силы нагружения:

Принцип Сан-Венана заключается в том, что на некотором расстоянии от центра приложения распределенной нагрузки, которое на порядок больше линии действия нагрузки, особенности распределения этой нагрузки несущественны.

9. Деформационное состояние в точке, тензор деформации. Инварианты тензора деформаций.

Деформация – изменение формы и размеров тела. Деформации рассматриваются с допущением, что перемещение точек неподвижного тела возможно только в результате деформации. Геометрическая задача заключается в находжении длины и взаимных углов между линейными элементами тела.

Тело может подвергаться линейным и угловым деформациям.

Линейные деформации – изменение линейных размеров тела, т.е. вдоль одной оси. Так, изменение размера вдоль будет равно , где начальный размер тела, приращение размера вдоль , относительное приращение размера, линейная деформация тела.

Угловая деформация – изменение формы тела сдвигом, без изменения объема. На плоскости угловая деформация складывается из приращения размера относительно и размера относительно :

Тензор деформации описывает деформацию тела. Он симметричен относительно главной диагонали.

Тензор деформации инвариантен к системе координат и имеет три инварианта:

10. Связь деформаций с перемещениями точек твердого тела.

Связь между деформациями ( и ) и перемещениями ( ) устанавливают уравнения Сен-Венана.