- •Предмет, методы и основной понятийный аппарат теории оптимального управления экономическими системами.
- •Общая задача оптимизации и задача оптимизации управляемых процессов
- •Оптимизационные модели экономической динамики
- •Оптимизационная однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель.
- •Оптимизационная многопродуктовая динамическая макроэкономическая модель.
- •Классификация экономико-математических моделей.
- •Задача оптимизации процессов управления
- •Постановка транспортной задачи и ее математическая модель.
- •Методика решения транспортных задач методом потенциалов.
- •Транспортная задача определения оптимального плана перевозок.
- •Предмет и основные понятия теории игр.
- •Нижняя и верхняя цена игра. Понятие игр с седловой точкой.
- •Области применения сетевого планирования и управления.
- •Решение задач «игр с природой» с помощью метода Лапласа, по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица.
- •Модели управления запасами.
- •Модель межотраслевого баланса.
- •Оптимизационные задачи динамического программирования. Алгоритм решения задач.
- •Оптимизационные модели размещения ресурсов.
- •Сетевой график. Критический путь.
- •Назначение, характеристика и структура систем сетевого планирования и управления.
- •Временные параметры вероятностных сетей.
- •Сетевое планирование в условиях неопределенности.
- •Оптимизация сетевых моделей.
- •Моделирование систем массового обслуживания.
- •Распределение входящего потока и распределение времени обслуживания в системах массового обслуживания.
Перечень вопросов, выносимых на зачет по курсу «Теория оптимального управления экономическими системами»
Предмет, методы и основной понятийный аппарат теории оптимального управления экономическими системами.
Объект управления — это непосредственное устройство, агрегат, подсистема основной системы, в которой реализуется цель функционирования системы.
Управляющая система — орган управления (в экономической литературе его иногда называют субъектом управления), предназначенный для выработки при необходимости управляющих воздействий на объект управления для приведения его функционирования к режиму, который в соответствии с целью управления считается нормальным.
Обратная связь — объект, подсистема, с помощью которого реализуется воздействие управляющей системы на управляемый объект.
Эти элементы, формирующие в совокупности замкнутую систему управления, находятся под воздействием внешней среды, которая может способствовать или препятствовать достижению целей системы.
Общая задача оптимизации и задача оптимизации управляемых процессов
Исходная информация для решения задач оптимального управления содержится в постановке задачи. Задача управления может формулироваться в содержательных (неформальных) терминах, которые часто носят несколько расплывчатый характер. Для применения математических методов необходима четкая и строгая формулировка задач, которая бы устраняла возможные неопределенности и двусмысленности и одновременно делала бы задачу математически корректной. С этой целью для обшей задачи необходима адекватная ей математическая формулировка, называемая математической моделью задачи оптимизации.
Математическая модель (ММ) - достаточно полное математическое описание динамической системы и процесса управления в рамках выбранной степени приближения и детализации.
ММ отображает исходную задачу в некоторую математическую схему, в конечном итоге - в некоторую систему чисел. В ней, с одной стороны, явно указываются (перечисляется) все сведения, без которых невозможно приступить к аналитическому или численному исследованию задачи, а с другой, – т.е. дополнительные сведения, которые вытекают из сущности задачи и которые отражают определенное требование к ее характеристикам.
Первая задача, которая возникает при управлении системой, – выбор таких воздействий на систему, чтобы происходящий процесс удовлетворял заданным условиям. Подобные процессы принято называть допустимыми.
Решение этой задачи неоднозначно. Допустимые процессы в системе образуют множество. Тогда возникает следующая задача – выбор из этого множества процесса, который является в некотором смысле наилучшим Другими словами, это задача выбора оптимального процесса.
Чтобы решать оптимизационные задачи с помощью математических методов, нужно, прежде всего, сформулировать на математическом языке рассматриваемые процессы и их математические модели. Далее требуется дать математическое выражение понятию «наилучший» – свойству, которым должен обладать искомый процесс. Наконец, необходимо с помощью математических средств уметь отразить те ограничения, которые накладываются на состояние системы и управления.
В общем виде задача оптимизации формулируется как задача отыскания минимального (или максимального) значения функционала на множестве М. Эта задача ставится аналогично задаче об отыскании экстремума функции.
Задачи оптимального управления представляют собой важный класс задач оптимизации. Эти задачи являются частными по отношению к сформулированной выше общей задаче оптимизации.
Необходимость управлять процессом оптимально, т. е. наилучшим в определенном смысле образом, возникает в системах, характеристики которых меняются во времени под влиянием управлений. К такому классу систем относится и экономическая система. Для того чтобы сформулировать на математическом языке задачу управления в таких системах, необходимо ввести некоторые понятия и построить соответствующую математическую модель.
Важнейшими понятиями в теории оптимального управления являются понятия состояния системы и управления. Будем рассматривать системы, состояние которых может быть в любой момент времени определено вектором х п-мерного векторного пространства с координатами . Пространство Х будем называть пространством состояний системы.
Так как система изменяется во времени, то ее поведение можно описать последовательностью состояний. Такую последовательность системы называют траекторией системы.
Переменную t, которая является независимой, назовем аргументом процесса. Аргументом процесса может быть любая величина, но чаще всего – время. Переменная t может пробегать некоторый отрезок числовой прямой, если , или отрезок натурального ряда . В первом случае процесс, происходящий в системе, называется непрерывным, во втором случае – многошаговым. Системы в этих случаях назовем соответственно непрерывными и дискретными.
Изменение состояния системы, т. е. процесс в ней, может происходить под воздействием управляющих воздействий. Будем рассматривать системы, управляющие воздействия в которых моделируются с помощью элементов r-мерного векторного пространства U:
Управляющие воздействия могут задаваться в виде функций от t. Тем самым реализуется определенный способ управления системой. В этом случае будем говорить о задании программы
На возможные (допустимые) состояния системы x(t) и управления и u(t) могут быть наложены ограничения. Рассмотрим множество троек – совокупность (n+r+1) – мерных векторов в пространстве . Тогда ограничения на состояние системы и управления в самом общем случае могут быть записаны в виде
,
где – некоторая область (подмножество) рассматриваемого (n+r+1) – мерного пространства. Ограничения на величины x(t), u(t) в каждый фиксированный момент времени t могут быть заданы и в виде
где – сечение множества V при заданном t.