- •Предмет, методы и основной понятийный аппарат теории оптимального управления экономическими системами.
- •Общая задача оптимизации и задача оптимизации управляемых процессов
- •Оптимизационные модели экономической динамики
- •Оптимизационная однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель.
- •Оптимизационная многопродуктовая динамическая макроэкономическая модель.
- •Классификация экономико-математических моделей.
- •Задача оптимизации процессов управления
- •Постановка транспортной задачи и ее математическая модель.
- •Методика решения транспортных задач методом потенциалов.
- •Транспортная задача определения оптимального плана перевозок.
- •Предмет и основные понятия теории игр.
- •Нижняя и верхняя цена игра. Понятие игр с седловой точкой.
- •Области применения сетевого планирования и управления.
- •Решение задач «игр с природой» с помощью метода Лапласа, по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица.
- •Модели управления запасами.
- •Модель межотраслевого баланса.
- •Оптимизационные задачи динамического программирования. Алгоритм решения задач.
- •Оптимизационные модели размещения ресурсов.
- •Сетевой график. Критический путь.
- •Назначение, характеристика и структура систем сетевого планирования и управления.
- •Временные параметры вероятностных сетей.
- •Сетевое планирование в условиях неопределенности.
- •Оптимизация сетевых моделей.
- •Моделирование систем массового обслуживания.
- •Распределение входящего потока и распределение времени обслуживания в системах массового обслуживания.
Распределение входящего потока и распределение времени обслуживания в системах массового обслуживания.
Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании.Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.
Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований,и определяется следующим соотношением:
Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим.
Простейший поток обладает такими важными свойствами:
Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем, должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.
Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.
Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований.. И вероятность того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований:
,
где λ(интенсивность) - среднее число требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.
На практике условия простейшего потока не всегда строго выполняются. Часто имеет место нестационарность процесса (в различные часы дня и различные дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца). Существует также наличие последействия, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают на склад за материалами. Однако в целом пуассоновский закон распределения с достаточно высоким приближением отражает многие процессы массового обслуживания.
Каналом обслуживания называется устройство в СМО, обслуживающее заявку. СМО, содержащее один канал обслуживания, называется одноканальной, а содержащее более одного канала обслуживания - многоканальной.
Если заявка, поступающая в СМО, может получить отказ в обслуживании (в силу занятости всех каналов обслуживания) и в случае отказа вынуждена покинуть СМО, то такая СМО называется СМО с отказами.
Если в случае отказа в обслуживании заявки могут вставать в очередь, то такие СМО называются СМО с очередью (или с ожиданием). При этом различают СМО с ограниченной и неограниченной очередью. Очередь может быть ограничена как по количеству мест, так и по времени ожидания. Различают СМО открытого и замкнутого типа. В СМО открытого типа поток заявок не зависит от СМО. В СМО замкнутого типа обслуживается ограниченный круг клиентов, а число заявок может существенно зависеть от состояния СМО (например, бригада слесарей - наладчиков, обслуживающих станки на заводе).
СМО могут также различаться по дисциплине обслуживания.
Если в СМО нет приоритета, то заявки отбираются из очереди в канал по различным правилам.
· Первым пришел - первым обслужен (FCFS - First Came - First Served)
· Последним пришел - первым обслужен (LCFS - Last Came - First Served)
· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью обслуживания (SPT/SJE)
· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью дообслуживания (SRPT)
· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью обслуживания (SEPT)
· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью дообслуживания (SERPT)
Приоритеты бывают двух типов - абсолютный и относительный.
Если требование в процессе обслуживания может быть удалено из канала и возвращено в очередь (либо вовсе покидает СМО) при поступлении требования с более высоким приоритетом, то система работает с абсолютным приоритетом. Если обслуживание любого требования, находящегося в канале не может быть прервано, то СМО работает с относительным приоритетом. Существуют также приоритеты, осуществляемые с помощью конкретного правила или набора правил. Примером может служить приоритет, изменяющийся с течением времени.
СМО описываются некоторыми параметрами, которые характеризуют эффективность работы системы.
- число каналов в СМО;
- интенсивность поступления в СМО заявок;
- интенсивность обслуживания заявок;
- коэффициент загрузки СМО;
- число мест в очереди;
- вероятность отказа в обслуживании поступившей в СМО заявки;
- вероятность обслуживания поступившей в СМО заявки (относительная пропускная способность СМО);
При этом:
(8)
А - среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способность СМО)
(9)
- среднее число заявок, находящихся в СМО
- среднее число каналов в СМО, занятых обслуживанием заявок. В тоже время это - среднее число заявок, обслуживаемых в СМО за единицу времени. Величина определяется как математическое ожидание случайного числа занятых обслуживанием n каналов.
, (10)
где - вероятность нахождения системы в Sk состоянии.
- коэффициент занятости каналов
- среднее время ожидания заявки в очереди
- интенсивность ухода заявок из очереди
- среднее число заявок в очереди. Определяется как математическое ожидание случайной величины m - числа заявок, состоящих в очереди
(11)
Здесь - вероятность нахождения в очереди i заявок;
- среднее время пребывания заявки с СМО
- среднее время пребывания заявки в очереди
Для открытых СМО справедливы соотношения:
(12)
(13)
Эти соотношения называются формулами Литтла и применяются только для стационарных потоков заявок и обслуживания.
Рассмотрим некоторые конкретные типы СМО. При этом будет предполагаться, что плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными событиями в СМО имеет показательное распределение (7), а все потоки являются простейшими.