Динамика вращательного движения:

В динамике поступательного движения материальной точки были введены в дополнение к кинематическим величинам, понятия силы и массы. Аналогично, для изучения динамики вращательного движения тела, помимо рассмотренных кинематических характеристик, вводятся новые величины - момент силы, момент инерции и момент импульса.

П усть на тело, в плоскости перпендикулярной оси вращения   действует сила   (рис.5.2). Разложим эту силу на две составляющие:   и 

Сила   пересекает ось вращения и, следовательно, не влияет на вращение тела. Под действием составляющей   тело будет совершать вращательное движение вокруг оси  . Расстояние   от оси вращения до линии вдоль которой действует сила   называется плечом силы  . Моментом силы относительно точки О называется произведение модуля силы   на плечо 

С учетом, что 

момент силы

.

С точки зрения векторной алгебры это выражение представляет векторное произведение радиуса-вектора  , проведенного в точку приложения силы   на эту силу. Таким образом, момент силы относительно точки О является векторной величиной и равен

(5.1)

Вектор момента силы направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы   и  , и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора М видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от   к   происходит против часовой стрелки).

Согласно второму закону Ньютона, для тангенциальной составляющей силы  , действующей на материальную точку массой m, и ускорения 

можем записать

С учетом, что

 и 

имеем

Домножим левую и правую части на  и получим

(5.2)

или

Произведение массы материальной точки   тела на квадрат ее расстояния   до оси вращения называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения:

(5.3)

Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное тело

(5.4)

В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами  , и моменты инерции тела определяется интегралом

(5.5)

о где  - расстояние от элемента   до оси вращения.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью плотности

(5.5)

где m - масса однородного тела, V - его объем. Для тела с неравномерно распределенной массой это выражение даетсреднюю плотность.

Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом

и тогда

(5.6)

Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела Интегрирование уравнения (5.5) наиболее просто осуществить для тех случаев, когда ось вращения проходит через центр тяжести тела. Рассмотрим результаты интегрирования для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему.

Момент инерции полого цилиндра с тонкими стенками, радиуса R.

Для полого цилиндра с тонкими стенками

Сплошной однородный диск. Ось вращения является осью диска радиуса  . и массы m с плотностью  Высота диска h. Внутри диска на расстоянии вырежем пустотелый цилиндр с толщиной стенки   и массой . Для него

Весь диск можно разбить на бесконечное множество цилиндров, а затем просуммировать:

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инерции стержня длиной L и массой m относительно оси, проходящей:

а) через центр стержня - 

б) через начало стержня - 

Теорема Штейнера. Имеем тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через его центр масс   известен. Необходимо определить момент инерции относительно произвольно оси  параллельной оси  . Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

(5.7)

С учетом (5.2) и (5.3) вращающий момент тела

(5.8)

или

Это выражение представляет собой аналог второго закона Ньютона для вращательного движения, из которого следует, что угловое ускорение   твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси прямо пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции Относительно этой оси. Из этого выражения следует, что момент инерции U является мерой его инертности во вращательном движении вокруг неподвижной оси. В случае поступательного движения мерой инертности, как известно, является масса тела.

Векторное произведение радиуса-вектора   материальной точки на ее импульс:   называют моментом импульса  , этой точки относительно точки О (рис.5.4)

. Вектор   иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, проведенной через векторы   и   и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от   к   происходит против часовой стрелки).

Векторную сумму моментов импульсов   всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения)   системы относительно точки О:

Векторы   и   взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому  . Сучетом связи линейных и угловых величин

и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор  .

Таким образом.

Момент импульса тела относительно оси вращения

т.е.

(5.9)

Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.

Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение   и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

с учетом (5.9)

или

(5.10)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела  , равно импульсу момента  всех внешних сил, действующих на это тело.

Из основного уравнения динамики вращательного движения следует, что

Для замкнутой (изолированной) системы результирующий вектор момента   всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю и

или

Это утверждение представляет собой содержание закона сохранения момента количества движения: и формулируется следующим образом: если результирующий момент всех внешних сил относительно неподвижной осивращения тела равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения. Этот закон может быть обобщен на любую незамкнутую систему тел, если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какой-либо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси не изменяется с течением времени.

Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью  , то линейная скорость i-ой точки равна  , где  , - расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно.

(5.11)

где   - момент инерции тела относительно оси вращения.

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью, равной скорости   центра инерции тела, и вращения с угловой скоростью  вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. При этом выражение для кинетической энергии тела преобразуется к виду

(5.12)

где   - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

Рассмотрим действие внешней силы  , приложенной к точке массой  . За время   элементарная масса   проходит путь   Работа силы   на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которая очевидно, равна тангенциальной составляющей   силы.

Но   равна модулю момента   силы   относительно оси вращения. Работа  , и будет положительна, если   имеет такое же направление, как и   отрицательное, если направление векторов   и   противоположны.

С учетом, что 

Работа всех сил, приложенных к телу

(5.13)

Полная работа

(5.14)