9.

Гармонічні коливання.

Основні характеристики коливань.

Представлення гармонічних коливань у тригонометричній, векторній та комплексній формі.

Коливання називають періодичними, якщо значення усіх фізичних величин, які характеризують коливальну систему та які змінюються при коливанні, повторюються через рівний проміжок часу.

Т – період коливань (час за який система виконує одне повне коливання)

=1/Т – частота, величина, що дорівнює кількості повних коливань, здійснених за одиницю часу.

=2=2/Т – циклічна частота, дорівнює кількості коливань, які здійснюються за 2 одиниць часу.

Залежність коливань величини S від часу t задовольняє умові S(T+t)=S(t)

Періодичні коливання величини S(t) називаються гармонічними. Якщо S(t)=Asin(t+₀) ,де =2=2/T=const

A=S_max=const>0 – амплітуда коливань.

Значення S в будь-який момент часу t визначається значенням фази коливань. Ф(t)=(t+₀) ₀ – початкова фаза коливань.

Згідно формулі Ейлера для комплексних чисел e^i=cos+sin, де і-уявна одиниця. Тому S=Asin(t+₀)=Acos(t+₁)

₁=₂-/2 можна представити так S^/=A^/e^it=Ae^i(t+1), де A^/=Ae^i1 – комплексна амплітуда

фізичний зміст має тільки дійсна частина

S=Asin(t+₀)=Acos(t+₁)

Фазова площина.

Векторні діаграми.

Графічне зображення гармонічних коливань за допомогою обертального вектора амплітуди називається методом векторних діаграм. Використовують обертальний вектор, для цього з початку О проводять вектор А, модуль якого дорівнює амплітуді коливань и складає з ох кут .з часом кут  збільшується так, що вектор А буде обертатись навколо О з кутовою швидкістю, яка дорівнює циклічній частоті. Таким чином, проекція оу здійснює гармонічні коливання за законом

Ау= S=Asin(t+₀)

Диференціальне рівняння гармонічних коливань.

(d²s/dt²)+²s=0

загальне рішення цього рівняння

S=A₁sint+A₂cost t=0

A₁=1/(ds/dt) A₂=S(0)

S=Asin(t+₀) A= A₁+A₂

₀=arctg A₂/A₁

Енергія гармонічних коливань.

Потенціальна енергія

W_p=kx²/2=kA²sin²(t+₀)/2 k=m²

Кінетична енергія

W_k=mv²/2=m²₀A²cos(t+₀)/2

Повна енергія

W=m₀²A²/2

10.

Складання гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти.

Метод комплексних амплітуд.

Для додавання таких коливань можна скористатися графічним методом зображення гармонічних коливань - , яка будується в полярній системі координат.

Биття.

Виникають при додаванні двох коливань однакового напрямку и дуже близькими частотами.

x₁=A₁cos(₁t+₁) ₂=₁+

x₂=A₂cos(₂t+₂) /₁<<1

Амплітуда змінюється з частотою в 2 рази більше ніж -расстройка частоти.

11.

Складання взаємно перпендикулярних коливань однакової частоти.

Розглянемо точку, яка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних коливаннях однакової частоти , тобто рухається в площині XOY згідно рівняння руху: x(t)=Acos(t+₁)

y(t)=Bcos(t+₂)

Знайдемо рівняння траєкторії точки. Для цього з рівнянь треба виключити час t. Перетворимо одне з рівнянь, наприклад друге, так: y/B=cos[(t+₁)+(₂-₁)]=

= cos(t+₁)cos(₂-₁)-

-sin(t+₁)sin(₂-₁). Далі враховуючи, що cos(t+₁)=x/A, легко одержати рівняння траєкторії руху точки у вигляді:

x²/A²-(2xy/AB)cos(₂-₁)+y²/B²=

=sin²(₂-₁).

Це рівняння еліпса, отже, якщо точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з однаковими частотами, то в загальному випадку дістаємо рух по еліпсу. Причому орієнтація цього еліпса відносно осей ОХ і OY залежить від різниці фаз складових коливань, яка в будь-який момент часу буде дорівнювати різниці їх початкових фаз:= (₂-₁). В окремих випадках еліпс може вироджуватись у пряму або коло.

Фігури Ліссажу.

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не однакові, то траєкторії результуючого руху мають вигляд складних кривих, які називають фігурами Ліссажу.

12.

Коливання в простих системах.

Коливальна система – система, яка здатна виконувати вільні коливання.

Коливальна система повинна задовольняти наступні умови:

1) присутність положення стійкої рівноваги;

2) присутність фактора, не дозволяючого системі зупинитися в положенні рівноваги в просессі коливань

3) тертя в системі повинно бути мало.

Вільні коливання реальних коливальних систем завжди затухаючі.

Пружинний маятник.

Це коливальна система, яка состоїть з грузу масою m, підвішеного до абсолютно упругої пружини, жорсткість якої k.

Пружинний маятник виконує гармонічні коливання:

= T=2

Математичний маятник.

Ідеалізована фізична модель коливальної системи, яка представляє собою матеріальну точку, підвішену на тонкій невісомій та нерозтяжній ниті, закріпленій в нерухомій точці.

В випадку малих відхилень математичний маятник виконує гармонічні коливання, період яких не залежить від амплітуди:

T=2 =

Фізичний маятник.

Будь-яке тверде тіло, яке під дією сили тяжіння може вільно коливатися навколо нерухомої горизонтальної осі підвісу.

На протязі малого інтервалу часу рух маятника можна розглядати як обертальний рух навколо осі підвісу.

Контур Томсона. Властива частота.

Контур Томсона це ідеальний контур, в якому R=0 і витрати енергії на нагрівання провідників відсутні.

Припустимо, що в початковий момент часу верхня обкладинка конденсатора заряджена позитивно, а нижня – негативно, струм в колі відсутній, отже вся енергія контуру зосереджена в конденсаторі. Внаслідок різниці потенціалів між обкладинками конденсатора в контурі починає зростати струм, який буде протікати крізь котушку L в напрямку від позитивної до негативної обкладинки – конденсатор почне розряджатися. Зростання сили струму веде до виникнення в котушці ерс самоіндукції, яка на першому етапі протидіє зростанню струму. При розряді конденсатора заряд та напруга на ньому, а отже і енергія електричного поля в ньому зменшується; в той же час зростання величини струму веде до зростання енергії магнітного поля в котушці. Перший етап закінчується в той момент, коли конденсатор повністю розрядиться в котушці.

Відтак починається другий етап, протягом якого струм в контурі, зберігаючи попередній напрямок, спадає. Однак струм припиниться не одразу – тепер його буде підтримувати ерс самоіндукції, напрямок якої на другому збігається з напрямком струму. Цей струм заряджає конденсатор в протилежному напрямку, тобто створює таку різницю потенціалів, яка поступово зменшує силу струму в контурі до нуля. Наприкінці другого етапу заряд та напруга на конденсаторі знов максимальні, але протилежні за знаком до початкових значень, струм в контурі відсутній, отже енергія контуру знов повернулась в конденсатор.

На третьому і четвертому етапах повторюється та ж сама послідовність процесів в зворотному напрямку і система повертається в початковий стан, завершуючи один період коливань. Таким чином в контурі виникають незатухаючі коливання заряду на конденсаторі та сили струму, які супроводжуються періодичними взаємними перетвореннями енергії електричного та магнітного полів.

В реальному коливальному контурі вільні коливання будуть з часом поступово затухати.

- властива частота.

Це частота, з якою відбувалися б коливання, якщо б в системі був відсутній опір.

13,14.

Затухаючі коливання. Коефіцієнт затухання.

Затухаючі коливання описуються формулою:

Механічні

Де ,

Розв’язок

(r- коефіцієнт опору, k- коефіцієнт квазіупружної сили)

електричні

де ,

розв’язок

Логарифмічний декремент коливань.

Дорівнює логарифму відношення амплітуд затухаючих коливань для двох послідовних моментів часу, поділеному на кількість періодів N, яка відповідає інтервалу між цими моментами

Він характеризує швидкість спадання амплітуди затухаючих коливань.

Час релаксації.

Проміжок часу, на протязі якого амплітуда змінюється в е разів.

Отже коефіцієнт затухання , час релаксації  та логарифмічний декремент  характеризують зміну з часом амплітуди затухаючих коливань.

Добротність.

Критичний опір контуру.

Критичне значення коефіцієнта затухання, при якому характер процесів в контурі змінюється з періодичного на аперіодичний, відповідає умові , звідки легко визначити і відповідний критичний опір контуру:

При R>R_кр процеси мають аперіодичний, а при R<R_кр – коливальний характер.

15.

Вимушені коливання.

Коливання системи, які здійснюються під впливом зовнішньої періодичної сили, називають вимушеними, а зовнішню силу – примусовою.

Механічної системи. Зовнішня примусова сила змінюється періодично за гармонічним законом

Диференціальне рівняння

де - коефіцієнт затухання. - частота властивих коливань системи. - зведена сила.

Частинний розв’язок диференціального рівняння, який описує вимушені коливання тіла в усталеному режимі, тобто після завершення початкового процесу розкачки системи, має вигляд:

Електромагнітні.

оскільки швидкість поширення електромагнітного поля с, то в кожний момент часу ми можемо вважати струм в усіх ділянках майже постійним. Такі струми називають квазістаціонарними.

Диференціальне рівняння:

де - коефіцієнт затухання, - властива частота.

Розв’язок будемо шукати у вигляді:

q₁ – розв’язок однорідного рівняння, q₂ – частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

Затухаючі коливання існують невеликий час, потім зникають. Далі у встановленому режимі коливання будуть відбуватися:

Амплітуда зміщення A() (при умові F₀ =const) та початкова фаза () вимушених коливань залежить від співвідношення між частотами  та ₀, а також від коефіцієнта затухання :

Резонанс.

Залежність A() при умові <<₀ має різкий максимум. Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при певній частоті зовнішньої сили називають резонансом, а величини _р та А_р – відповідно резонансною частотою та резонансною амплітудою:

Резонансні криві та їх використання для визначення добротності осцилографа.

Кількісною характеристикою резонансних властивостей системи може бути відношення амплітуди зміщень при резонансі А_р до статичного зміщення А_ст., яке спричинюється зовнішньою силою з амплітудою F₀, коли частота її прямує до нуля. за допомогою попередніх формул при умові ²<<₀² : Для систем з малим затуханням, тобто при ²<<₀², одержимо <<1 та Q>>1. Такі значення декремент та добротності притаманні коливальним системам з високими резонансними якостями. Резонансна крива в цих умовах має вузький та високий максимум.

Для експериментального визначення добротності системи формула Q у більшості випадків непридатна внаслідок труднощів, пов’язаних з неможливістю точного вимірювання величини А_ст.. На практиці добротність розраховують за допомогою резонансної кривої.

А()

А _р

А_р

2

Позначимо через  ширину резонансної кривої на рівні (при такій амплітуді енергія коливань системи вдвічі менша порівняно з її енергією в стані резонансу). Можна показати, що в такому випадку при умові малого затухання

17.

Хвилі. Основні характеристики хвиль.

Процес поширення коливань у пружному середовищі назива­ється хвилею.

Геометричне місце точок, до яких доходять коливання до моменту часу, називається фронтам хвилі.

Геометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі, називаються хвильовою поверхнею. Хвильову поверхню можна провести крізь любу точку простору, охоплену хвильовим процесом. Хвильових поверхонь існує нескінченна кількість, в той час як хвильовий фронт в кожен момент часу тільки один. Хвильові поверхні залишаються нерухомими. Хвильовий фронт увесь час постійно рухається.

Відстань , на яку розповсюджується хвиля за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища, називають довжиною хвилі.

Повздовжні та поперечні хвилі.

Частинки середовища, в якій поширюється хвиля, не беруть участь в поступальному русі, вони лише здійснюють коливання навколо своїх положень рівноваги. В залежності від напрямку коливань частинок по відношенню до напрямку, в якому розповсюджується хвиля, розрізняють повздовжні та поперечні хвилі.

В повздовжній хвилі частинки середовища коливаються вздовж направлення розповсюдження хвилі.

В поперечній хвилі частинки середовища коливаються в напрямках, перпендикулярних до напрямку розповсюдження хвилі.

Пружні поперечні хвилі можуть виникати лише в середовищі, вододіючому опором зсуву. Тому в рідких і газоподібних середовищах можуть виникати тільки повздовжні хвилі. В твердому середовищі можуть виникати як повздовжні, так і поперечні.

Акустичні хвилі.

Якщо пружні хвилі, які розповсюджуються в повітрі, мають частоту в діапазоні від 16 до 20000 Гц, до достигнувши людського вуха, вони відзивають відчуття звуку. Такі хвилі називаються акустичними або просто звуком.

Звуковий діапазон.

Пружні хвилі з частотами, меншими 16 Гц, називають інфразвуком, а вище 20000 Гц – ультразвуком. Найбільш високочастотні пружні хвилі в діапазоні частот від 10⁹ до 10¹² Гц називають гіперзвуковими.

Висота тону.

Звукові коливання, які проходять за гармонічним законом, сприймаються людиною як певний музичний тон. Коливання високої частоти сприймаються як звуки високого тону, а звуки низької частоти – як звуки низького тону. Діапазон звукових коливань, який відповідає зміні в два рази, називається октавою.

Гучність звуку.

Суб’єктивною характеристикою сприймання звуку людиною, є гучність звуку, яка залежить як від інтенсивності хвилі, так і від чутливості вуха людини в даному діапазоні частот.

Обертони.

Найнижча частота  властивих коливань струни, називається основним тоном. Усі інші властиві частоти, називаються обертонами.

Тембр.

Основна частота визначає висоту звуку, який сприймається на слух, а набір гармонічних складових – тембр звуку.

Звукові коливання, які не піддаються гармонічному закону, сприймаються людиною як складний звук, який володіє тембром.

Эффект Доплера

Если источник звука и наблюдатель движутся друг относительно друга, частота звука, воспринимаемого наблюдателем, не совпадает с частотой источника звука

18.

Фронт хвилі.

Геометричне місце точок, до яких доходять коливання до моменту часу, називається фронтам хвилі.

Рівняння плоскої та сферичної біжучої хвилі. Хвильовий вектор. Хвильове рівняння.

Плоскою хвилею називається така хвиля, фронтом якої в будь-який момент часу є площина.

x – відстань від джерела коливань довільної коливальної частинки в момент часу від початку коливань.

(,t) – зміщення коливної точки від положення рівноваги в момент часу.

А – амплітуда коливань.

t-kx – фаза коливань в даний момент часу.

k – хвильове число (хвильовий вектор) – величина, яка показує, скільки довжин хвиль вкладається на відрізку 2.

 - циклічна частота.

Сферичною хвилею називається така хвиля, фронтом якої в даний момент часу є сфера.

амплітуда сферичної хвилі залежить від відстані:

Фазова швидкість.

Це швидкість поширення в середовищі певної фази біжучої хвилі.

Знайдемо вираз для фазової швидкості: t-kx=const;

Перенос енергії хвилями.

При поширені хвилі в пружному середовищі в просторі переноситься енергія. Це кінетична енергія коливального руху частинок середовища і потенціальна енергія, зумовлена деформацією середовища. Швидкість переносу енергії дорівнює фазовій швидкості хвилі.

 - густина пружного середовища;

S – переріз, перпендикулярний до поширення хвилі;

E – енергія що поширюється крізь переріз S за час t.

Потік енергії – фізична величина, що дорівнює кількості енергії, що переноситься хвилею крізь поверхню S в одиницю часу. Ф=[Вт] Ф=

Густина потоку енергії числено дорівнює потоку енергії крізь одиничну площадку S, що знаходиться перпендикулярно до напрямку поширення хвилі. j=[Вт/м²]

Вектор густини потоку енергії завжди співпадає з напрямком поширення хвилі і переносу енергії.

Середнє значення об’ємної густини енергії.

Вектор Умова.

Фізичний зміст: потік вектора Умови крізь поверхню S числено дорівнює потужності, що проходить крізь цю поверхню.

Скалярна величина, що дорівнює модулю вектора Умови, називається інтенсивністю хвилі. Знаючи значення вектора Умови в усіх точках довільної поверхні, можна розрахувати повний потік енергії крізь цю поверхню.

18.

Суперпозиція хвиль.

Якщо в середовищі одночасно поширюється кілька хвиль, то результатом коливання частинок середовища є геометричною сумою коливань частинок при поширені кожної хвилі окремо. Хвилі поширюються незалежно одна від одної. Це є фактично принципом суперпозиції хвиль.

Одновимірні стоячі хвилі.

Стоячою хвилею називається хвиля, яка утворюється в результаті накладення двох бігучих синусоїдальних хвиль, які розповсюджуються назустріч друг другу і мають однакові частоти та амплітуди.

В цьому рівнянні величину A(x)= можна розглядати як залежність амплітуди коливань точок струна від координати x. При утворені стоячої хвилі значення величини A(x) в різних точках струни не змінюється з часом. Як бачимо, вузли стоячої хвилі можуть утворюватись не тільки в точках кріплення струни, але і в інших точках, координати яких легко визначити із умови A(x)= 0. поряд з вузлами стоячої хвилі розрізняють також і пучність – точки, в яких амплітуда коливань максимальна. Координати пучностей стоячої хвилі відповідають виконанню умови A(x)= 2А₀.

Вплив граничних умов.

Той чи інший вигляд рівняння властивих коливань суттєво залежить від граничних умов, які у випадку струни визначаються способом закріплення струни – жорстке або вільне закріплення. При вільному закріплені струни на відповідній границі буде утворюватися пучність стоячої хвилі.

Властиві частоти резонатора.

Вибіркова частота значення якої залежить лише від L і коли резонатор резонує тільки на ній.

19. З-ни геом. оптики:

1. В однорідних середовищах світло поширюється прямолінійно.

2. Промінь падаючий відбитий і перпендикуляр поставлений в точку падіння лужать в одній площині. Кут падіння дорівнює куту відбивання.

3. Промінь падаючий заломлений і перпендикуляр лужать в одній площині, відношення sin кута заломлення дорівнює відношенню показника 2го заломлення відносно 1го.

4. Світлові промені, поширюючись у просторі, при перетині не впливають один на одного.

5. Якщо промінь падає з 1го середовища на межу 2го під кутом i, заломлюється на межі і переходить у 2ге середовище під кутом r, то промінь, пущений у зворотному напрямі з 2го середовища під кутом r, вийде в 1ому середовищі під кутом i, аналогічно буде i при відбиванні.

Абсолютний показник:

, де , V - швидкість

Відносний показник:

Оптична густина – це міра прозорості речовини, що дорівнює десятковому логарифму відношення потоку випромінювання , падаючого на шар речовини, до потоку, що пройшов випромінювання , послабленого в результаті поглинання і розсіювання.

Біле світло (сонячне) є складним за спектральним складом, у видимій області воно має діапазон:

В ипромінювання сонця і інших природних джерел світла не є монохрамотичними (внаслідок того, що воно є результатом хаотичного накладання випромінювань окремих атомів різних речовин, які є в складі Сонця), випромінювання окремих атомів є різними за довжиною хвилі, за інтенсивністю, за ступінню поляризації.

Когерентними вважаються хвилі в тому числі і світлові, вважаються хвилі з однаковою частотою і постійну з часом різницею фаз.

Інтерференція – це явище накладання когерентних хвиль, в результаті якого в області накладання спостерігається інтерференційна картина у вигляді чергування мінімумів там максимумів інтенсивності.

Умова min: Умова max:

k=0, 1, 2 …

де - оптична різниця ходу