1. Определение матрицы. Понятие подматрицы. Операции над матрицами и их свойства.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа составляющие матрицу называются элементами матрицы. Подматрицей матрицы А является матрица, которая состоит из невычеркнутых элементов первоначальной матрицы.

Операции над матрицами:

• Транспонирование – переход от матрицы А к матрице А^Т , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

• Сложение матриц. Они должны быть одинаковой размерности и одноимённые элементы складываются.

• Умножение матриц на число.

• Вычитание матриц. А-В=А=(-1)В

• Умножение матриц. Правило умножения: Произведением матриц АВ называется такая матрица С каждый элемент которой равен сумме произведений элементов итой строки матрицы А на элементы житого столбца матрицы В.

Деления в матрицах нет!

Свойства операций:

• А+В=В+А

• А+(В+С)=(А+В)+С

• А=ВА+С=В+С

• *А=А*

• *(*А)= (*)*А

• *(А+В)= *А+*В

• А^Т *В=А*В^Т

• А^Т *(В+С)= А^Т *В+ А^Т *С

• А*Е(единичная матрица)=А или Е*А=А

• А*(В+С)=А*В+А*С

• *(А*В)= (*А)*В=А*(*В)

• А*(В*С)=(А*В)*С главное порядок

2. Понятие определителя квадратной матрицы порядка n. Свойства определителей. Методы вычисления определителей. Примеры.

Определитель – число, характеризующее квадратную матрицу.

Вырожденная матрица – определитель = 0

Невырожденная матрица – определитель ≠ 0

Определитель матрицы первого порядка = элементу этой матрицы.

Определитель матрицы второго порядка, называется число которое вычисляется по формуле:

Определитель матрицы третьего порядка, называется число которое вычисляется по формуле (правило треугольника или правило Саррюса):

Определители n-го порядка

Теорема: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнение.

Это метод вычисления определителей, и его называют метод разложения по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца.

Определитель диагональной матрицы = произведению элементов главной диагонали.

Свойства определителей:

• Если какая-нибудь строка (столбец) состоит только из нулей, то её определитель равен нулю.

• Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число, то и весь определитель умножается на число.

• При транспонировании матрицы её определитель не изменится.

• При перестановке двух строк или столбцов матрицы, её определитель меняет знак на противоположный.

• Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки или столбца, то её определитель будет равен нулю.

• Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то её определитель будет равен нулю.

• Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраическое дополнение элементов другой строки или столбца этой матрицы равна нулю.

• Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки или столбца матрицы прибавить элементы другой строки (столбца) предварительно умноженное на одно и тоже число. Получаем нули.

• Определитель произведения двух матриц равен произведению двух определителей.