27. Непрерывность функции в точке. Свойства функций непрерывных на отрезке.

Опр.1. Функция f с областью определения D(f) наз. непрерывной в точке х₀, если у нее в этой точке существует предел, совпадающий с f(x₀).

(Ф-я f н-ся непрер. в т. x_0, если предел f(x) равен. f(x₀)).

Опр.2. Функция f наз. непрерывной на мн-ве Е не равной нулю, если она непрерывна в каждой точке из мн-ва Е //заметим, что при этом необходимо выполнятся ЕcD(f)//.

Т.1(Больцано – Коши) Если функция f определена и непрерывна на отрезке [а, b] и на его концах принимает значения разных знаков, тогда существует точка с, кот. принадлежит интервалу (а, в) со св-вом f(c)=0.

Док-во: Разделим отрезок (а, в) пополам точкой (а+в)/2. Можно сказать, что в этой точке функция обратится в 0, тогда обозначим с=(а+в)/2 и доказательство закончено. Поэтому будем считать, что значение в этой точке f≠0. Тогда на концах

одного из отрезков [а;(а+b)/2] (если f((a+b)/2)>0) или [(а+Ь)/2;b] (если f((a+b)/2)<0) функция принимает значение разных знаков. Обозначим этот отрезок через [а₁,b₁], тогда будем иметь как и на [a,b], функция f принимает на левом конце сегмента отрицательное значение, а на правом – положительное.

Р азделим пополам отрезок [а₁,b₁] и вновь отбросим тот случай, когда f((a₁,b₁)/2)=0, тогда Т.доказана. Обозначим через [а₂, b₂]ту половину [a₁,b₁], на концах которой функция принимает значения разных знаков. Далее делим [a₂,b₂] и т.д. Тогда имеем послед-ть вложенных отрезков [a_n,b_n]c[а₂, b₂]с [а₁, b₁]c[a,b], для которой

(1)

Продолжим дальше деление отрезка пополам, при этом возможны 2 варианта:

1. либо мы после конечного числа шагов наткнемся на точку деления, в которой функция обращается в 0 и тогда теорема доказана.

2. либо продолжение деления продолжается неограниченно. Таким образом выполнены все условия принципа стягивающихся отрезков (т.Кантора) по этому принципа последовательности (а_п) и (b_п) стремятся к общему пределу.

В силу непрерывности функции f в точке с тогда при n→∞ f(a_n)→f(c) и f(b_n)→f(c). Учитывая это, по Т. о предельном переходе в неравенстве, из неравенств(1) получаем: f(c)≤0 и f(c)≥0. Следовательно, f(c)=0 и точка с – искомая.

[Случай, когда f(a)>0 и f(b)<0 можно изложить по аналогии с рассмотренным. Можно также свести его к рассмотренному путем перехода от функции f к непрерывной на [a,b] функции φ(x)= - f(x)].

Т.2. Если f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то f(x) огр.

Д-во: Допустим, что неверно «f(x) огр. на сегменте [a,b]»

Применим метод деления пополам, обозначим один из получившихся отрезков через [а₁,b₁], f(x) неогр. н а [а₁,b₁],

На n-том шаге [a_n,b_n] ф-я неогранич.

Применим принцип Кантора: существует с принадлежащая [a_n,b_n], и такая что f(x) неогранич на [a_n,b_n], a_n→c и b_n→c.

В каждом отрезке [a_n,b_n] отметим по т. х_n, : , | f(x_n)>n (1)

По теор. О сжат. Последовательности, a_n≤х_n ≤b_n,, a_n→c и b_n→c, значит х_n →c.предел f(x_n) равен f(с), f(x_n) сходящаяся последовательность, а значит огр. (по теор.), но это противоречит условию (1).

Дополнит.информация: Т.3. (о промежуточных значениях) Если f непрерывна на отрезке [а,b] и на его концах принимает неравные между собой значения A и В соответственно.

Тогда, для любого числа С, лежащее между А и В, найдется такая точка с со св-вом f(c)=C.

Док-во: Пусть для определенности А<В. Вспомогательная функция h(x)=f(x)-C, очевидно, непрерывна на [a,b]. Т.к., кроме того h(a)=f(a)-C=A-C<0, h(b)=f(b)-C=B-C>0, то по Т.2. существует с€(a,b) со св-вом h(c)=0, т.е. f(c)-C=0 или f(c)=C.

Следующие два основных св-ва непрерывных на сегменте функций приводим здесь без док-в.

Т.4.(1-я теорема Вейерштрасса). Каждая непрерывная функция f на отрезке [а,b] ограничена на нем.

Док-во: (ограниченности сверху) Пусть y=f(x) не ограничена сверху на[a,b]

возникла последовательность (x_n) - ограниченная числовая послед-ть (т.к. она в [a,b]). По Т.(Б.-К.) существует (xk_n) – подпослед-ть: xk_n – сходится к х₀

а≤x_n≤b=> a≤xk_n≤b=> по Т. о предельном переходе в неравенствах следует, что a≤x₀≤b=>x₀€[a,b]=>f- непрерывна в точке х₀, а по условию нерерывности следует, что f(xk_n)→f(x₀), следовательно (f(xk_n)) – сходящаяся числовая послед-ть => она ограничена(в частности ограничена сверху) (*)=> предположение не верное, т.е. f(x_n) – ограничено сверху.

Аналогично для ограниченности снизу(y=-f(x))

Теорема 5 (2-я т. Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке [а,b], то она принимает на нем наименьшее и наибольшее значение.(т.е. найдутся такие х₁,х₂, что f(x₁)≤f(x)≤f(x₂)/

Док-во: По т.4 функция ограничена на отрезке [а,b], в частности ограничена сверху, т.е сверху ограничено множество значений функций.

Обозначим М= Sир Е (f). Будем доказывать, что число М является значением функции, х₀:f(х₀)=М (МОП): по опр.2 :f(x)<М УхЄ[а.b] (1)

Временно допустим, что f(х)<М Ух€[а,b]/Тогда введем вспомогательную функцию g(х)

g(x)=1/(M-f(x)). Тогда по Т.1 функция g(х) непрерывна на [а,b] и по Т.4 ограничена на этом отрезке.

Тогда существует число Р>0: |g(х)│=g(x)=1/(М-f(х))≤р.

Последнее неравенство означает, что число М- 1/р≤М Ух € [а,b] является мажорантой множества Е(f), что невозможно, т.к. М=Sир Е (f)=>В (1) равенство имеется, т.е. существует х_о:f(хо)=М значит М -наибольшее значение функции.

Теорема 1. Если функции: f и g непрерывны в точке х₀, то в этой точке непрерывны и функции f±g, f·g, а при g(x₀)≠0 и функция f/g.